数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 対数関数(分解、和と積、近似)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、5(対数関数)の練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}-7\log \frac{9}{10}+2\log \frac{24}{25}+3\log \frac{81}{80}\\ =\log \left({\left(\frac{10}{9}\right)}^7·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left(\frac{24}{25}\right)}^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left(\frac{81}{80}\right)}^3\right)\\ =\log \frac{10^7·\; <!--\; middle\; dot\; -->24^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->81^3}{9^7·\; <!--\; middle\; dot\; -->25^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->80^3}\\ =\log \frac{10^4·\; <!--\; middle\; dot\; -->24^2}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->25^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->8^3}\\ =\log \frac{2^4·\; <!--\; middle\; dot\; -->5^4·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^6·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^2}{3^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->5^4·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^9}\\ =\log 2\\ -11\log \frac{9}{10}+3\log \frac{24}{25}+5\log \frac{81}{80}\\ =\log \frac{2^{11}·\; <!--\; middle\; dot\; -->5^{11}}{3^{22}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2^9·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^3}{5^6}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3^{20}}{2^{20}·\; <!--\; middle\; dot\; -->5^5}\\ =\log 3\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\log \frac{9}{10}\\ =\log \left(1-10^{-1}\right)\\ =-10^{-1}-\frac{1}{2}10^{-2}+\frac{1}{3}{\left(-10^{-1}\right)}^3-\frac{1}{4}{\left(-10^{-1}\right)}^4+R_5\\ R_5\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{10^{-5}}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->0.9}<10^{-5}\\ \log \frac{24}{25}\\ =\log \left(1-\frac{1}{25}\right)\\ =\log \left(1-4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\right)\\ =-4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}-\frac{1}{2}{\left(-4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(-4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\right)}^3+R_4\\ R_4\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left(4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\right)}^4}{4·\; <!--\; middle\; dot\; -->0.996}<10^{-5}\\ \log \frac{81}{80}\\ =\log \left(1+\frac{1}{80}\right)\\ =\frac{1}{80}-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{80}\right)}^2+R_3\\ \left|R_3\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left(\frac{1}{80}\right)}^3=\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->512000}<10^{-5}\end{array}$

      より、求める対数の小数第5位までの値を計算して求める。

      $\begin{array}{l}\log 2\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->-7\left(10^{-1}-\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}-\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-3}-\frac{1}{4}10^{-4}\right)\\ +2\left(-4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}-\frac{1}{2}{\left(4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\right)}^2-\frac{1}{3}{\left(4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}\right)}^3\right)\\ +3\left(\frac{1}{80}-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{80}\right)}^2\right)\end{array}$

      log 3 も同様に計算。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log, Rational, plot

print('2.')


a = -10 ** -1 - Rational(1, 2) * 10 ** -2 + Rational(1, 3) * \
    (-10 ** -1) ** 3 - Rational(1, 4) * (-10 ** -1) ** 4
b = -4 * 10 ** -2 - Rational(1, 2) * (-4 * 10 ** -2) ** 2 + \
    Rational(1, 3) * (-4 * 10 ** -2) ** 3
c = Rational(1, 80) - Rational(1, 2) * Rational(1, 80) ** 2

log2 = -7 * a + 2 * b + 3 * c
log3 = -11 * a + 3 * b + 5 * c

for o in [a, b, c,
          log(2), float(log(2)), log2, log(3), float(log(3)), log3]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
-0.105358333333333

-0.0408213333333333

 159 
─────
12800

log(2)

0.6931471805599453

0.693131291666667

log(3)

1.0986122886681098

1.09858704166667


C:\Users\...>