数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列(極限、不等式、はさみうち)

解析入門(上)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.1(数列)、問題4を取り組んでみる。

4. 
   
   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   と任意の正の実数とする。

   このとき、 問題の仮定より、ある自然数 N が存在して、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

   ならば、

   $\begin{array}{l}\left|a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\\ \left|c_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

   が成り立つ。

   
   また、

   $a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

   ならば、

   $\left|b_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|$

   また、

   $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->c_n$

   ならば、

   $\left|b_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|c_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|$

   よって、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

   に対して、

   $\begin{array}{l}\left|b_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\\ \left|b_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|c_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

   のどちらかが成立つ。

   よって、

   $\begin{array}{l}n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|b_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$

   となる。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('4.')
x = symbols('x')
a = 1 / x
b = 2 / x
c = 3 / x

for o in [a, b, c]:
    pprint(o)
    print()
p = plot(a, b, c, (x, 1, 11), ylim=(0, 11), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
3.

C:\Users\...>