数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 逆正接関数(円周率のより良い近似、少ない項での近似)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、6(逆正接関数)の練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $x=\arctan \frac{1}{5}$

   とおく。

   このとき、 問題1の正接に対する加法公式より、

   $\begin{array}{l}\frac{1}{5}=\tan x\\ \tan \left(2x\right)\\ =\tan \left(x+x\right)\\ =\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{5}}\\ =\frac{2}{5}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{25}{24}\\ =\frac{5}{12}\\ \tan \left(4x\right)\\ =\tan \left(2x+2x\right)\\ =\frac{\frac{5}{12}+\frac{5}{12}}{1-\frac{5}{12}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{5}{12}}\\ =\frac{10}{12}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{144}{119}\\ =\frac{120}{119}\end{array}$

   また、

   $y=\arctan \frac{1}{239}$

   とおくと、

   $\frac{1}{239}=\tan y$

   よって、

   $\begin{array}{l}\tan \left(4x-y\right)\\ =\frac{\tan \left(4x\right)+\tan \left(-y\right)}{1-\tan \left(4x\right)\tan \left(-y\right)}\\ =\frac{\tan \left(4x\right)-\tan y}{1+\tan \left(4x\right)\tan y}\\ =\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{239}}\\ =\frac{120·\; <!--\; middle\; dot\; -->239-119}{119·\; <!--\; middle\; dot\; -->239+120}\\ =\frac{119·\; <!--\; middle\; dot\; -->239+239-119}{119·\; <!--\; middle\; dot\; -->239+120}\\ =\frac{119·\; <!--\; middle\; dot\; -->239+120}{119·\; <!--\; middle\; dot\; -->239+120}\\ =1\end{array}$

   ゆえに

   $\begin{array}{l}\arctan 1=4x-y\\ \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, atan, Rational, pi

print('4.')

a = 4 * atan(Rational(1, 5)) - atan(Rational(1, 239))

for o in [pi, 4 * a]:
    for s in [o, float(o)]:
        pprint(s)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
π

3.141592653589793

-4⋅atan(1/239) + 16⋅atan(1/5)

3.141592653589793


C:\Users\...>