2019年4月20日土曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、6(逆正接関数)の練習問題4の解答を求めてみる。


  1. x = arctan 1 5

    とおく。

    このとき、 問題1の正接に対する加法公式より、

    1 5 = tan x tan 2 x = tan x + x = 1 5 + 1 5 1 - 1 5 · 1 5 = 2 5 · 25 24 = 5 12 tan 4 x = tan 2 x + 2 x = 5 12 + 5 12 1 - 5 12 · 5 12 = 10 12 · 144 119 = 120 119

    また、

    y = arctan 1 239

    とおくと、

    1 239 = tan y

    よって、

    tan 4 x - y = tan 4 x + tan - y 1 - tan 4 x tan - y = tan 4 x - tan y 1 + tan 4 x tan y = 120 119 - 1 239 1 + 120 119 · 1 239 = 120 · 239 - 119 119 · 239 + 120 = 119 · 239 + 239 - 119 119 · 239 + 120 = 119 · 239 + 120 119 · 239 + 120 = 1

    ゆえに

    arctan 1 = 4 x - y π 4 = 4 arctan 1 5 - arctan 1 239

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, atan, Rational, pi

print('4.')

a = 4 * atan(Rational(1, 5)) - atan(Rational(1, 239))

for o in [pi, 4 * a]:
    for s in [o, float(o)]:
        pprint(s)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
π

3.141592653589793

-4⋅atan(1/239) + 16⋅atan(1/5)

3.141592653589793


C:\Users\...>

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