数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 逆正接関数(指数関数、逆数、極限)

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、6(逆正接関数)の練習問題12の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \dots \\ e^{x} - (1 + x) = \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \dots \\ \frac{e^{x} - (1 + x)}{x^{2}} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} x + \dots \\ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (1 + x)}{x^{2}} = \frac{1}{2!} = \frac{1}{2} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, Limit, plot, Rational

print('12.')

x = symbols('x')
f = exp(x) - (1 + x)
g = x ** 2
h = f / g
l = Limit(h, x, 0)

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(h, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(f, g, h,
         Rational(1, 2),
         (x, -5, 5),
         ylim=(0, 10),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12.
     ⎛      x    ⎞
     ⎜-x + ℯ  - 1⎟
 lim ⎜───────────⎟
x─→0⁺⎜      2    ⎟
     ⎝     x     ⎠

1/2

     ⎛      x    ⎞
     ⎜-x + ℯ  - 1⎟
 lim ⎜───────────⎟
x─→0⁻⎜      2    ⎟
     ⎝     x     ⎠

1/2


C:\Users\...>

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