数学 - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(ほとんど全ての無限の違い、必要十分条件、部分列極限、上極限、下極限)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   1. 
      
      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

      のとき、任意の

      $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

      に対して、ある N が存在して、

      $n>N$

      ならば、

      $\begin{array}{l}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ a_n<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

      よって、 ほとんどすべての n について、

      $a_n<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

      が成り立つ。

      逆に、任意の

      $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

      に対して、ほとんどすべての n について

      $a_n<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

      が成り立つとき、ある N が存在して、

      $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

      ならば、

      $a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

      よって、 任意の部分列

      $\left(b_n\right)$

      に対して、

      $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

      ならば、

      $b_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

      が成り立つ。

      よって、

      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

      ゆえに、

      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

      が成り立つ。

      （証明終）

   2. 
      
      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n$

      のとき、任意の

      $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

      に対して、 ある部分列

      $\left(b_n\right)$

      と N が存在して、

      $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

      ならば、

      $\begin{array}{l}{b}_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b_n\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<b_n\end{array}$

      よって、

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<a_n$

      を満たす n が無限に存在する。

      
      逆に、任意の

      $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

      に対し、

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<a_n$

      を満たす n が無限に存在するとき、との条件を満たす n により部分列

      $\left(b_n\right)$

      を定めると、

      $\begin{array}{l}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<b_n\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-b_n<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

      が成り立つ。

      よって、

      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

      ゆえに、

      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

      である。

      （証明終）