数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数(平方、立方、4次、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}{e}^2<3^2\\ \left|R_5\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->e^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2^5}{5!}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2^5}{5!}\\ =\frac{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^2}{5}\\ =\frac{12}{5}\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}{e}^3<3^3\\ \left|R_5\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->e^3·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3^5}{5!}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3^3·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3^5}{5!}\\ =\frac{3^7}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}\\ =\frac{2187}{40}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Derivative, Rational

print('8.')

x = symbols('x')
f = exp(x)
g = sum([Derivative(f, x, i).subs({x: 0}) /
         factorial(i) * x ** i for i in range(5)])
for o in [g, g.doit()]:
    pprint(o)
    print()
xs = [2, 3]
rs = [Rational(12, 5), Rational(2187, 40)]
for i, (x0, r0) in enumerate(zip(xs, rs)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)}) x = {x0}')
    gx = g.subs({x: x0})
    r = (exp(x0) - gx).doit()
    for o in [gx, float(r), r0, r <= r0]:
        pprint(o)
        print()


p = plot(f, g.doit(), (x, -5, 5), ylim=(0, 10), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
8.
   ⎛  4    ⎞│         ⎛  3    ⎞│         ⎛  2    ⎞│                        
 4 ⎜ d ⎛ x⎞⎟│       3 ⎜ d ⎛ x⎞⎟│       2 ⎜ d ⎛ x⎞⎟│                        
x ⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│                        
   ⎜  4    ⎟│         ⎜  3    ⎟│         ⎜  2    ⎟│                        
   ⎝dx     ⎠│x=0      ⎝dx     ⎠│x=0      ⎝dx     ⎠│x=0     ⎛d ⎛ x⎞⎞│       
──────────────── + ──────────────── + ──────────────── + x⋅⎜──⎝ℯ ⎠⎟│    + 1
       24                 6                  2             ⎝dx    ⎠│x=0    

 4    3    2        
x    x    x         
── + ── + ── + x + 1
24   6    2         

(a) x = 2
                                     ⎛  3    ⎞│        ⎛  4    ⎞│       
                                     ⎜ d ⎛ x⎞⎟│        ⎜ d ⎛ x⎞⎟│       
                                   4⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│      2⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│       
                   ⎛  2    ⎞│        ⎜  3    ⎟│        ⎜  4    ⎟│       
  ⎛d ⎛ x⎞⎞│        ⎜ d ⎛ x⎞⎟│        ⎝dx     ⎠│x=0     ⎝dx     ⎠│x=0    
2⋅⎜──⎝ℯ ⎠⎟│    + 2⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│    + ─────────────── + ─────────────── + 1
  ⎝dx    ⎠│x=0     ⎜  2    ⎟│             3                 3           
                   ⎝dx     ⎠│x=0                                        

0.38905609893065024

12/5

True

(b) x = 3
                   ⎛  2    ⎞│        ⎛  3    ⎞│         ⎛  4    ⎞│       
                   ⎜ d ⎛ x⎞⎟│        ⎜ d ⎛ x⎞⎟│         ⎜ d ⎛ x⎞⎟│       
                 9⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│      9⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│      27⋅⎜───⎝ℯ ⎠⎟│       
                   ⎜  2    ⎟│        ⎜  3    ⎟│         ⎜  4    ⎟│       
  ⎛d ⎛ x⎞⎞│        ⎝dx     ⎠│x=0     ⎝dx     ⎠│x=0      ⎝dx     ⎠│x=0    
3⋅⎜──⎝ℯ ⎠⎟│    + ─────────────── + ─────────────── + ──────────────── + 1
  ⎝dx    ⎠│x=0          2                 2                 8            

3.710536923187668

2187
────
 40 

True


C:\Users\...>