数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(同次元、全射、同型写像)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   V の基底を

   $v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n$

   とする。

   f は全射なので、 W の任意の元に対して

   $\begin{array}{}f\left(v\right)=w\\ v=x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_a{v}_a\\ x_{1}f\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}f\left(v_n\right)=w\end{array}$

   となる V の元 v が存在する。

   $\dim V=\dim W$

   なので、ベクトル

   $f\left(v_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,f\left(v_n\right)$

   は W を生成するので W の基底である。

   よって、

   $w=O$

   のとき、

   $\begin{array}{}{x}_{1}f\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}f\left(v_n\right)=O\\ x_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=x_n=0\\ v=O\end{array}$

   よって、 f の核は、

   $\left\{O\right\}$

   なので、 f は全単射である。

   ゆえに、 f は同形写像である。

   （証明終）