2019年4月5日金曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題1の解答を求めてみる。


  1. V の基底を

    v 1 , , v n

    とする。

    f は全射なので、 W の任意の元に対して

    f v = w v = x 1 v 1 + + x a v a x 1 f v 1 + + x n f v n = w

    となる V の元 v が存在する。

    dim V = dim W

    なので、ベクトル

    f v 1 , , f v n

    は W を生成するので W の基底である。

    よって、

    w = O

    のとき、

    x 1 f v 1 + + x n f v n = O x 1 = = x n = 0 v = O

    よって、 f の核は、

    O

    なので、 f は全単射である。

    ゆえに、 f は同形写像である。

    (証明終)

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