数学 - Python - 解析学 - 数 - 複素数(実数でない複素数、平方、等式、解)

解析入門(上)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.5(複素数)、問題9を取り組んでみる。

9. 
   
   $\begin{array}{}z=c+di\\ c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{}{z}^2\\ =\left(c^2-d^2\right)+2cdi\\ c^2-d^2=a\\ 2cd=b\\ c^4+d^4-2c^2{d}^2=a^2\\ 4c^2{d}^2=b^2\\ c^2+d^2+2c^2\mathrm{dz}=a^2+b^2\\ {\left(c^2+d^2\right)}^2=a^2+b^2\\ c^2+d^2=\sqrt{a^2+b^2}\\ 2c^2=a+\sqrt{a^2+b^2}\\ c^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ d^2=\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\end{array}$

   符号について。

   $\begin{array}{}b<0\\ c=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ d=\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->\frac{\sqrt{-a+\sqrt{a^2+b^2}}}{2}\\ b>0\\ c=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}})\\ d=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{z}})\end{array}$

   （複号同順）
   よって求める複素数は、

   $\begin{array}{}b<0\\ z=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\\ b>0\\ z=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{z}}\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}i\end{array}$

   （複号同順）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols,  pprint, I, solve

print('9.')

a, c, d = symbols('a, c, d', real=True)
b = symbols('b', real=True, nonzero=True)
alpha = a + b * I
z = c + d * I
eq = z ** 2 - alpha

for o in [alpha, eq]:
    pprint(o)
    print()

for d in solve(eq, c, d, dict=True):
    for k, v in d.items():
        print(f'{k} = ')
        pprint(v)
        print()
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.
a + ⅈ⋅b

                    2
-a - ⅈ⋅b + (c + ⅈ⋅d) 

c = 
         ____________________                    
        ╱          _________  ⎛       _________⎞ 
       ╱          ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟ 
      ╱     a   ╲╱  a  + b    ⎜a   ╲╱  a  + b  ⎟ 
-2⋅  ╱    - ─ - ──────────── ⋅⎜─ - ────────────⎟ 
   ╲╱       2        2        ⎝2        2      ⎠ 
─────────────────────────────────────────────────
                        b                        

d = 
       ____________________
      ╱          _________ 
     ╱          ╱  2    2  
    ╱     a   ╲╱  a  + b   
-  ╱    - ─ - ──────────── 
 ╲╱       2        2       


c = 
        ____________________                   
       ╱          _________  ⎛       _________⎞
      ╱          ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
     ╱     a   ╲╱  a  + b    ⎜a   ╲╱  a  + b  ⎟
2⋅  ╱    - ─ - ──────────── ⋅⎜─ - ────────────⎟
  ╲╱       2        2        ⎝2        2      ⎠
───────────────────────────────────────────────
                       b                       

d = 
      ____________________
     ╱          _________ 
    ╱          ╱  2    2  
   ╱     a   ╲╱  a  + b   
  ╱    - ─ - ──────────── 
╲╱       2        2       


c = 
         ____________________                    
        ╱          _________  ⎛       _________⎞ 
       ╱          ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟ 
      ╱     a   ╲╱  a  + b    ⎜a   ╲╱  a  + b  ⎟ 
-2⋅  ╱    - ─ + ──────────── ⋅⎜─ + ────────────⎟ 
   ╲╱       2        2        ⎝2        2      ⎠ 
─────────────────────────────────────────────────
                        b                        

d = 
       ____________________
      ╱          _________ 
     ╱          ╱  2    2  
    ╱     a   ╲╱  a  + b   
-  ╱    - ─ + ──────────── 
 ╲╱       2        2       


c = 
        ____________________                   
       ╱          _________  ⎛       _________⎞
      ╱          ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
     ╱     a   ╲╱  a  + b    ⎜a   ╲╱  a  + b  ⎟
2⋅  ╱    - ─ + ──────────── ⋅⎜─ + ────────────⎟
  ╲╱       2        2        ⎝2        2      ⎠
───────────────────────────────────────────────
                       b                       

d = 
      ____________________
     ╱          _________ 
    ╱          ╱  2    2  
   ╱     a   ╲╱  a  + b   
  ╱    - ─ + ──────────── 
╲╱       2        2       



C:\Users\...>