数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数(平方、逆数、置換積分法、積分、近似、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題11-(b)の解答を求めてみる。

11. 
    
    2. 
       

       置換積分法。

       $\begin{array}{l}t=x^2\\ \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dx}}=2x\\ t=0,x=0\\ t=1,x=1\\ x=\sqrt{t}\\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{e}^{\left(-x^2\right)}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ e^{-t}=1-t+\frac{1}{2!}{t}^2-\frac{1}{3!}{t}^3+\frac{1}{4!}{t}^4-\frac{1}{5!}{t}^5+R_6\left(t\right)\\ \left|R_6\left(t\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->e^{-0}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left|t\right|}^6}{6!}=\frac{{\left|t\right|}^6}{6!}\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{l}\frac{e^{\left(-t\right)}}{\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{t}}-\sqrt{t}+\frac{1}{2!}t\sqrt{t}-\frac{1}{3!}{t}^2\sqrt{t}+\frac{1}{4!}t\sqrt[3]{t}-\frac{1}{5!}t\sqrt[4]{t}+\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\\ \left|\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{t\sqrt[5]{t}}{6!}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{e}^{\left(-x^2\right)}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}{\left[2\sqrt{t}-\frac{2}{3}t\sqrt{t}+\frac{2}{5}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2!}{t}^2\sqrt{t}-\frac{2}{7}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3!}t\sqrt[3]{t}+\frac{2}{9}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{4!}t\sqrt[4]{t}-\frac{2}{11}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{5!}t\sqrt[5]{t}\right]}_0^1\\ +\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\mathrm{dt}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{t\sqrt[5]{t}}{6!}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{13}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{6!}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->10^{-3}\end{array}$

       よって、求める積分の小数第3位までの値は、

       $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2!}-\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}-\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Integral, Rational

print('11-(b).')

x = symbols('x')
f = exp(-x ** 2)
If = Integral(f, (x, 0, 1))
y = sum([(-1) ** k / ((2 * k + 1) * factorial(k)) for k in range(6)])

for o in [If, If.doit(), float(If.doit()), float(y)]:
    pprint(o)
    print()

g = sum([(-1) ** k * 1 / ((2 * k + 1) * factorial(k)) *
         x ** Rational(2 * k + 1, 2)
         for k in range(6)])
p = plot(f, g, y,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-5, 5),
         show=False, legend=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11-(b).
1        
⌠        
⎮    2   
⎮  -x    
⎮ ℯ    dx
⌡        
0        

√π⋅erf(1)
─────────
    2    

0.746824132812427

0.7467291967291967


C:\Users\...>