2019年4月9日火曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題5の解答を求めてみる。


  1. 線形写像 G が単射だと仮定する。

    w 1 , , w n

    を W の基底とする。

    x 1 G w n + + x n G w n = O

    とする。

    このとき

    G x 1 w 1 + + x n w n = O x 1 w n + + x n w n = O

    よって、

    x 1 = = x n = 0

    となり、また、

    G w i G w j i j

    なので、

    G w 1 , G w n

    は1次独立である。

    これは、

    dim V < dim W

    という仮定と矛盾。

    ゆえに、線形写像 G は単射ではありえない。

    (証明終)

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