数学 - Python - 解析学 - 数 - 複素数(絶対値、等式の証明、共役、積、除算、分数)

解析入門(上)
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.5(複素数)、問題7を取り組んでみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}{\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|}^2\\ =\frac{{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}{{\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\stackrel{-}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)}}\\ =\frac{\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}\\ =\frac{{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}\end{array}$

   よって

   $\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|=1\vee \; <!--\; logical\; or\; -->\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|=1$

   ならば、

   $\begin{array}{}{\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|}^2=1\\ \left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}\right|=1\end{array}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols,  pprint, I, Rational, sqrt
import random

print('7.')

alpha = Rational(1, 2) + sqrt(3) / 2 * I

for _ in range(5):
    beta = random.randrange(-100, 101) + random.randrange(-100, 101) * I
    z = (alpha - beta) / (1 - alpha.conjugate() * beta)
    for o in [z, abs(z)]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
      73          √3⋅ⅈ     
      ── - 85⋅ⅈ + ────     
      2            2       
───────────────────────────
                 ⎛1   √3⋅ⅈ⎞
1 - (-36 + 85⋅ⅈ)⋅⎜─ - ────⎟
                 ⎝2    2  ⎠

1

     187   √3⋅ⅈ            
     ─── + ──── + 72⋅ⅈ     
      2     2              
───────────────────────────
                 ⎛1   √3⋅ⅈ⎞
1 - (-93 - 72⋅ⅈ)⋅⎜─ - ────⎟
                 ⎝2    2  ⎠

1

     163       √3⋅ⅈ     
     ─── - ⅈ + ────     
      2         2       
────────────────────────
              ⎛1   √3⋅ⅈ⎞
1 - (-81 + ⅈ)⋅⎜─ - ────⎟
              ⎝2    2  ⎠

1

      7          √3⋅ⅈ    
    - ─ - 57⋅ⅈ + ────    
      2           2      
─────────────────────────
    ⎛1   √3⋅ⅈ⎞           
1 - ⎜─ - ────⎟⋅(4 + 57⋅ⅈ)
    ⎝2    2  ⎠           

1

     127          √3⋅ⅈ    
   - ─── - 45⋅ⅈ + ────    
      2            2      
──────────────────────────
    ⎛1   √3⋅ⅈ⎞            
1 - ⎜─ - ────⎟⋅(64 + 45⋅ⅈ)
    ⎝2    2  ⎠            

1


C:\Users\...>