数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数(逆数、小数第3位まで、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{}{e}^{-x}\\ =1-x+\frac{1}{2!}{x}^2-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{5!}{x}^5+\frac{1}{6!}{x}^6+\left|R_7\right|\\ 7!=5040\\ R_7\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{5040}·\; <!--\; middle\; dot\; -->e^0=\frac{1}{5040}\end{array}$

   求める小数第3位までの値。

   $\begin{array}{}\frac{1}{e}\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}\\ =\frac{6·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->3-6·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4+6·\; <!--\; middle\; dot\; -->5-6+1}{6!}\\ =\frac{360-120+30-6+1}{6!}\\ =\frac{265}{6!}\\ =\frac{53}{6·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}\\ =\frac{53}{144}\\ =0.368\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Derivative, Rational

print('6.')

x = symbols('x')
f = exp(-x)
g = sum([Derivative(f, x, i).subs({x: 0}) /
         factorial(i) * x ** i for i in range(7)])

for o in [f, g, g.doit(), g.doit().subs({x: 1}), float(g.doit().subs({x: 1})),
          float(exp(-1))]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g.doit(), ylim=(-10, 10), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
 -x
ℯ  

   ⎛  6     ⎞│         ⎛  5     ⎞│         ⎛  4     ⎞│         ⎛  3     ⎞│    
 6 ⎜ d ⎛ -x⎞⎟│       5 ⎜ d ⎛ -x⎞⎟│       4 ⎜ d ⎛ -x⎞⎟│       3 ⎜ d ⎛ -x⎞⎟│    
x ⋅⎜───⎝ℯ  ⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝ℯ  ⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝ℯ  ⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝ℯ  ⎠⎟│    
   ⎜  6     ⎟│         ⎜  5     ⎟│         ⎜  4     ⎟│         ⎜  3     ⎟│    
   ⎝dx      ⎠│x=0      ⎝dx      ⎠│x=0      ⎝dx      ⎠│x=0      ⎝dx      ⎠│x=0 
───────────────── + ───────────────── + ───────────────── + ───────────────── 
       720                 120                  24                  6         

     ⎛  2     ⎞│                         
   2 ⎜ d ⎛ -x⎞⎟│                         
  x ⋅⎜───⎝ℯ  ⎠⎟│                         
     ⎜  2     ⎟│                         
     ⎝dx      ⎠│x=0     ⎛d ⎛ -x⎞⎞│       
+ ───────────────── + x⋅⎜──⎝ℯ  ⎠⎟│    + 1
          2             ⎝dx     ⎠│x=0    

  6     5    4    3    2        
 x     x    x    x    x         
─── - ─── + ── - ── + ── - x + 1
720   120   24   6    2         

 53
───
144

0.3680555555555556

0.36787944117144233


C:\Users\...>