数学 - 解析学 - 数 - 自然数、整数(空でない整数の部分集合、有界、整列性、最大元、最小元)

解析入門(上)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.2(自然数、整数)、問題2を取り組んでみる。

2. 
   
   $T=\left\{a\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}|\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\in \; <!--\; element\; of\; -->S\left[a=x-A\right]\right\}$

   とおく。

   集合 T は自然数の部分集合なので、整列性により最小元をもつ。 その最小元を m とおく。

   また、 集合 S は、

   $S=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}|\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\in \; <!--\; element\; of\; -->T\left[x=a+A\right]\right\}$

   なので、 S は最小元をもち、その値は

   $m+A$

   である。

   最大元の場合も、

   $T=\left\{a\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}|\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\in \; <!--\; element\; of\; -->S\left[a=A-x\right]\right\}$

   とおいて同様に考えられる。

   （証明終）