数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 回転体の体積(平方、逆数、対数関数、限界、x軸の周りに回転してできる立体の体積、極限、収束、発散、広義積分)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、回転体の体積の練習問題14の解答を求めてみる。

14. 
    
    $\begin{array}{}\underset{1}{\overset{B}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{y}^2\mathrm{dx}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\underset{1}{\overset{B}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{x}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{\left[\log x\right]}_1^{13}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\left(\log B-\log 1\right)\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\log B\end{array}$

    限界13が非常に大きくなるときについて。

    $\underset{B\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\log B=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

    よって、発散し、極限は存在しない。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, plot, Limit, oo, sqrt

x, B = symbols('x, B')
f = 1 / sqrt(x)
x1, x2 = 1, B

I = Integral(pi * f ** 2, (x, x1, x2))
V = I.doit()
l = Limit(V, B, oo)
for o in [I, V, l, l.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

x0 = 0
x2 = 10
g = 1 / x
h = 1 / x ** 2
p = plot((f, (x, x0, x1)),
         (f, (x, x1, x2)),
         (g, (x, x0, x1)),
         (g, (x, x1, x2)),
         (h, (x, x0, x1)),
         (h, (x, x1, x2)),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample14.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample14.py
B      
⌠      
⎮ π    
⎮ ── dx
⎮  4   
⎮ x    
⌡      
1      

π    π  
─ - ────
3      3
    3⋅B 

    ⎛π    π  ⎞
lim ⎜─ - ────⎟
B─→∞⎜3      3⎟
    ⎝    3⋅B ⎠

π
─
3


C:\Users\...>