数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像(定義、和とスカラー倍、線形である場合とない場合)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
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• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1,z_1\right)+\left(x_2,y_2,z_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(x_1+x_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(x_1,z_1\right)+\left(x_2,z_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1,z_1\right)+f\left(x_2,y_{21}{z}_2\right)\\ f\left(c\left(x,y,z\right)\right)\\ =f\left(cx,\mathrm{cg},cz\right)\\ =\left(cx,cz\right)\\ =c\left(x,z\right)\\ =cf\left(x,y,z\right)\end{array}$

      よって線形である。

   2. 
      

      線形である。

      確認。

      $\begin{array}{}f\left(c\left(x+y\right)\right)\\ =-c\left(x+y\right)\\ =c\left(-x\right)+c\left(-y\right)\\ =cf\left(x\right)+cf\left(y\right)\end{array}$
   3. 
      

      線形ではない。

      $\begin{array}{}f\left(0x\right)\\ =f\left(0\right)\\ =\left(0,-1,0\right)\\ \ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0f\left(x\right)\end{array}$
   4. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(2\left(x_1+x_2\right)+y_1+y_{2)}{y}_1+y_2\right)\\ =\left(2x_1+y_1,y_1\right)+\left(2x_2+y_2,y_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1\right)+f\left(x_2,y_2\right)\\ f\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =f\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx+cy,cy\right)\\ =c\left(2x+y,y\right)\\ =cf\left(x,y\right)\end{array}$
   5. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(2\left(x_1+x_2\right),\left(y_1,y_2\right)-\left(x_1+x_2\right)\right)\\ =\left(2x_1,y_1-x_1\right)+\left(2x_2,y_2-x_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1\right)+f\left(x_2,y_2\right)\\ f\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =f\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx,cy-cx\right)\\ =c\left(2x,r-x\right)\\ =cf\left(x,y\right)\end{array}$
   6. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(y_1+y_2,x_1+x_2\right)\\ =\left(y_1,x_1\right)+\left(y_2,x_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1\right)+f\left(x_2,y_2\right)\\ f\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =f\left(cx,cy\right)\\ =\left(cy,cx\right)\\ =c\left(y,x\right)\\ =cf\left(x,y\right)\end{array}$
   7. 
      

      線形ではない。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1+x_2\right)\left(y_1+y_2\right)\\ =x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_1{y}_2+x_2{y}_1\\ =f\left(x_1,y_1\right)+f\left(x_2,y_2\right)+x_1{y}_2+x_2{y}_1\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols
from sympy.plotting import plot3d

print('1.')

x, y = symbols('x, y')
f = x * y

p = plot3d(f, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.xlabel = x
p.ylabel = y

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample1.py
1.

C:\Users\...>