数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦、累乗(べき乗、平方)、逆数、置換積分方、積分、近似値(小数第3位まで))

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(f)の解答を求めてみる。

11. 
    
    6. 
       

       置換積分法。

       $\begin{array}{}t=x^2\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=2x\\ x=0,t=0\\ x=1,t=1\\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin x^2}{x^2}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin t}{t}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{x}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin t}{t^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\mathrm{dt}\end{array}$

       テイラー の公式。

       $\begin{array}{}\sin t\\ =t-\frac{1}{3!}{t}^3+\frac{1}{5!}{t}^5+R_7\left(t\right)\\ R_7\left(t\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|t\right|}^7}{7!}\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{}\frac{\sin t}{t^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\\ =t^{\left(-\frac{1}{2}\right)}-\frac{1}{3!}{t}^{\left(\frac{3}{2}\right)}+\frac{1}{5!}{t}^{\left(\frac{7}{2}\right)}+\frac{R_7\left(t\right)}{t^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\\ \left|\frac{R_7\left(t\right)}{t^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{t^{\left(\frac{11}{2}\right)}}{7!}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin x^2}{x^2}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}{\left[2t^{\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{2}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}{t}^{\left(\frac{5}{2}\right)}+\frac{2}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}{t}^{\left(\frac{9}{2}\right)}\right]}_0^1+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_7\left(t\right)}{t^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\mathrm{dt}\end{array}$

       かつ

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_7\left(t\right)}{t^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right|\mathrm{dt}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{t^{\left(\frac{11}{2}\right)}}{7!}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{7!}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{13}·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left[t^{\left(\frac{13}{2}\right)}\right]}_0^1\\ =\frac{1}{13·\; <!--\; middle\; dot\; -->7!}\end{array}$

       よって求める積分の小数第3位までの値は、

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}{\left[2t^{\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{2}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}{t}^{\left(\frac{5}{2}\right)}+\frac{2}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}{t}^{\left(\frac{9}{2}\right)}\right]}_0^1\\ =1-\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!-9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4+5}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!-9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4+1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{1080-36+1}{1080}\\ =\frac{1045}{1080}\\ =0.967\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, Integral, plot, factorial, Rational

print('11-(f).')

x = symbols('x')
f = sin(x ** 2) / x ** 2
i = Integral(f, (x, 0, 1))
g = Rational(1, 2) * (x ** -Rational(1, 2) -
                      1 / factorial(3) * x ** Rational(3, 2) +
                      1 / factorial(5) * x ** Rational(7, 2))

for o in [i, i.doit(), float(i.doit()), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, (x, -2, 2), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(f).
1           
⌠           
⎮    ⎛ 2⎞   
⎮ sin⎝x ⎠   
⎮ ─────── dx
⎮     2     
⎮    x      
⌡           
0           

                                ⎛√2⎞       
                  √2⋅√π⋅fresnelc⎜──⎟⋅Γ(1/4)
  sin(1)⋅Γ(1/4)                 ⎝√π⎠       
- ───────────── + ─────────────────────────
     4⋅Γ(5/4)              4⋅Γ(5/4)        

0.9675774909926477

 7/2    3/2       
x      x       1  
──── - ──── + ────
240     12    2⋅√x


C:\Users\...>