数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の像と核(基底、像、一次独立、一次従属)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の像と核)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $F\left(A\right),F\left(B\right)$

   が1次従属と仮定する。

   
   このとき、

   $aF\left(A\right)+bF\left(B\right)=O$

   を満たす a、 b を考えると仮定より、

   $\begin{array}{}F\left(A\right)=-\frac{b}{a}F\left(B\right)\\ F\left(B\right)=-\frac{a}{b}F\left(A\right)\end{array}$

   のいずれかは成り立つ。

   ${\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2$

   の任意の元 X を

   $X=xA+yB$

   とおく。 この F による像は

   $\begin{array}{}F\left(X\right)\\ =F\left(xA+yB\right)\\ =xF\left(A\right)+yF\left(B\right)\end{array}$

   よって、

   $F\left(X\right)=\left(-\frac{bx}{a}+y\right)F\left(B\right)$

   または

   $F\left(X\right)=\left(x-\frac{ay}{b}\right)F\left(A\right)$

   ゆえに、 F による像は1次元以下、すなわち1次元が

   $\left\{O\right\}$

   したがって、

   $F\left(A\right),F\left(B\right)$

   が1次独立か、 F の像が1次元か、あるいはF の像が

   $\left\{O\right\}$

   のいずれかが成り立つ。

   （証明終）