2019年3月29日金曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題1の解答を求めてみる。


  1. d dx e - x 2 = - 2 x e - x 2 d 2 dx 2 e - x 2 = - 2 e - x 2 - 2 x e - x 2 - 2 x = 2 e - x 2 2 x 2 - 1 d 3 dx 3 e - x 2 = 2 - 2 x e - x 2 2 x 2 - 1 + e - x 2 4 x = 4 e - x 2 - 2 x 3 + 3 x d 4 dx 4 e - x 2 = 4 - 2 x e - x 2 - 2 x 3 + 3 x + e - x 2 - 6 x 2 + 3 = 4 e - x 2 - 2 x - 2 x 3 + 3 x - 6 x 2 + 3 = 4 e - x 2 4 x 4 - 12 x 2 + 3

    よって、 求める4次のテイラー多項式は、

    x - 2 2 ! x 2 + 12 4 ! x 4 = x - x 2 + 1 2 x 4

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Derivative

print('1.')

x = symbols('x')
f = exp(-x**2)
g = sum([Derivative(f, x, i).subs({x: 0}) /
         factorial(i) * x ** i for i in range(5)])
for o in [f, g, g.doit()]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g.doit(), (x, -2.5, 2.5), ylim=(-5, 5), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample1.py
1.
   2
 -x 
ℯ   

   ⎛  4⎛   2⎞⎞│         ⎛  3⎛   2⎞⎞│         ⎛  2⎛   2⎞⎞│                     
 4 ⎜ d ⎜ -x ⎟⎟│       3 ⎜ d ⎜ -x ⎟⎟│       2 ⎜ d ⎜ -x ⎟⎟│                     
x ⋅⎜───⎝ℯ   ⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝ℯ   ⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝ℯ   ⎠⎟│                     
   ⎜  4      ⎟│         ⎜  3      ⎟│         ⎜  2      ⎟│        ⎛  ⎛   2⎞⎞│  
   ⎝dx       ⎠│x=0      ⎝dx       ⎠│x=0      ⎝dx       ⎠│x=0     ⎜d ⎜ -x ⎟⎟│  
────────────────── + ────────────────── + ────────────────── + x⋅⎜──⎝ℯ   ⎠⎟│  
        24                   6                    2              ⎝dx      ⎠│x=

     
     
     
     
     
  + 1
0    

 4         
x     2    
── - x  + 1
2          


C:\Users\...>

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