数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の像と核(ベクトル空間、次元、基底、一次独立)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の像と核)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n$

   と V の基底とすると、定理2より、

   $f\left(v_i\right)\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   は W の1次独な元で、 W も n 次元なので基底である。

   よって、 W の任意の元は、

   $\begin{array}{}{x}_{1}f\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}f\left(v_n\right)\\ =f\left(x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n\right)\end{array}$

   とておくことができる。

   ゆえに、 f は全射、すなわち f の像はW 全体である。

   
   （証明終）