数学 - Python - 解析学 - 数 - 複素数(除算の絶対値と絶対値の除算、共役)

解析入門(上)
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.5(複素数)、問題2を取り組んでみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=a+bi\\ \mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=c+di\\ a,b,c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{}\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|\\ =\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}\right|\\ =\frac{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\left|\left(a+bi\right)\left(c-di\right)\right|}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\left|\left(ac+bd\right)-\left(ad-bc\right)i\right|}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\sqrt{{\left(ac+bd\right)}^2+{\left(ad-bc\right)}^2}}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\sqrt{a^2{c}^2+b^2{d}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2}}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{}\frac{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}\\ =\frac{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\\ =\frac{\sqrt{a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2}}{{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2}\end{array}$

   よって、

   $\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|=\frac{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}{\left|B\right|}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols

print('2.')

a = symbols('a', imag=True)
b = symbols('b', imag=True, nonzero=True)

l = abs(a / b)
r = abs(a) / abs(b)

for o in [l, r, l == r]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample2.py
2.
│a│
───
│b│

│a│
───
│b│

True


C:\Users\...>