数学 - 解析学 - 数 - 実数(無理数、稠密性)

解析入門(上)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.1(実数)、問題5を取り組んでみる。

5. 
   

   任意の 実数 x 、 y に対して、有理数は稠密なので、a を

   $x-\sqrt{2}<a<y-\sqrt{2}$

   を満たす有理数とする。

   このとき、

   $x<a+\sqrt{2}<y$

   で、

   $a+\sqrt{2}$

   は有理数と無理数の和なので、問題1の証明の結果より無理数である。

   よって、

   $z=a+\sqrt{2}$

   おけばいいので、数直線上に無理数も稠密に存在する

   （証明終）