2019年2月14日木曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題17の解答を求めてみる。


  1. 問題16 より、

    N n = A - I n n = [ 0 a 12 a 13 a 1 n 0 0 a 22 a 2 n 0 0 0 a n - 1 n 0 0 0 0 ] n = O

    A の逆行列について。

    n が2の とき。

    A I - N = I + N I - N = I 2 - N 2 = I - A O = I

    n が3のとき。

    A I - N + N 2 = I + N I - N + N 2 = I 2 + N - N + N 2 - N 2 + N 3 = I + O = I

    一般(自然数)。

    A I - N + N 2 - + - 1 n - 1 N n - 1 = I + N I - N + N 2 - + - 1 n - 1 N n - 1 = I 2 + N - N - N 2 + N 2 + N 3 - N 3 - + - 1 n - 1 N n = I + - 1 n - 1 O = I

    よって、 A の逆行列である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('17.')


def f(i, j):
    if i == j:
        return 1
    if i < j:
        return symbols(f'a{i}{j}', nonzero=True)
    return 0


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


def h(N, n):
    t = Matrix([[0 for _ in range(n)]
                for _ in range(n)])
    for k in range(n):
        t += (-1) ** k * N ** k
    return t


for n in range(0, 6):
    A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    In = Matrix([[g(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                 for i in range(1, n + 1)])
    N = A - In
    for t in [A, h(N, n), (A * h(N, n)).expand()]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample17.py
17.
[]

[]

[]

[1]

[1]

[1]

⎡1  a₁₂⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡1  -a₁₂⎤
⎢       ⎥
⎣0   1  ⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡1  a₁₂  a₁₃⎤
⎢           ⎥
⎢0   1   a₂₃⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    1 ⎦

⎡1  -a₁₂  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃⎤
⎢                      ⎥
⎢0   1        -a₂₃     ⎥
⎢                      ⎥
⎣0   0          1      ⎦

⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡1  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                ⎥
⎢0   1   a₂₃  a₂₄⎥
⎢                ⎥
⎢0   0    1   a₃₄⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    1 ⎦

⎡1  -a₁₂  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃  -a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄ + a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄ - a₁₄⎤
⎢                                                              ⎥
⎢0   1        -a₂₃                   a₂₃⋅a₃₄ - a₂₄             ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢0   0          1                         -a₃₄                 ⎥
⎢                                                              ⎥
⎣0   0          0                          1                   ⎦

⎡1  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  1  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  1  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  1⎦

⎡1  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢                     ⎥
⎢0   1   a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    1   a₃₄  a₃₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0    1   a₄₅⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    1 ⎦

⎡1  -a₁₂  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃  -a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄ + a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄ - a₁₄  a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a
⎢                                                                             
⎢0   1        -a₂₃                   a₂₃⋅a₃₄ - a₂₄                            
⎢                                                                             
⎢0   0          1                         -a₃₄                                
⎢                                                                             
⎢0   0          0                          1                                  
⎢                                                                             
⎣0   0          0                          0                                  

₄₅ + a₁₂⋅a₂₅ - a₁₂⋅(a₂₃⋅a₃₅ + a₂₄⋅a₄₅) - a₁₃⋅a₃₄⋅a₄₅ + a₁₃⋅a₃₅ + a₁₄⋅a₄₅ - a₁₅
                                                                              
             -a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₅ + a₂₃⋅a₃₅ + a₂₄⋅a₄₅ - a₂₅                           
                                                                              
                          a₃₄⋅a₄₅ - a₃₅                                       
                                                                              
                              -a₄₅                                            
                                                                              
                                1                                             

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

⎡1  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  1  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  1  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  1  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  1⎦


C:\Users\...>

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