数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(上三角行列、単位行列、逆行列)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題17の解答を求めてみる。

17. 
    

    問題16 より、

    $\begin{array}{}{N}^n\\ ={\left(A-I_n\right)}^n\\ ={\left[\begin{array}{cccc}0& a_{12}& a_{13}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{1n}\\ 0& 0& a_{22}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{2n}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0& 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{n-1n}\\ 0& 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->0\end{array}\right]}^n\\ =O\end{array}$

    A の逆行列について。

    n が2の とき。

    $\begin{array}{}A\left(I-N\right)\\ =\left(I+N\right)\left(I-N\right)\\ =I^2-N^2\\ =I-AO\\ =I\end{array}$

    n が3のとき。

    $\begin{array}{}A\left(I-N+N^2\right)\\ =\left(I+N\right)\left(I-N+N^2\right)\\ =I^2+N-N+N^2-N^2+N^3\\ =I+O\\ =I\end{array}$

    一般（自然数）。

    $\begin{array}{}A\left(I-N+N^2-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\left(-1\right)}^{n-1}{N}^{n-1}\right)\\ =\left(I+N\right)\left(I-N+N^2-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\left(-1\right)}^{n-1}{N}^{n-1}\right)\\ =I^2+N-N-N^2+N^2+N^3-N^3-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\left(-1\right)}^{n-1}{N}^n\\ =I+{\left(-1\right)}^{n-1}O\\ =I\end{array}$

    よって、 A の逆行列である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('17.')


def f(i, j):
    if i == j:
        return 1
    if i < j:
        return symbols(f'a{i}{j}', nonzero=True)
    return 0


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


def h(N, n):
    t = Matrix([[0 for _ in range(n)]
                for _ in range(n)])
    for k in range(n):
        t += (-1) ** k * N ** k
    return t


for n in range(0, 6):
    A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    In = Matrix([[g(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                 for i in range(1, n + 1)])
    N = A - In
    for t in [A, h(N, n), (A * h(N, n)).expand()]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample17.py
17.
[]

[]

[]

[1]

[1]

[1]

⎡1  a₁₂⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡1  -a₁₂⎤
⎢       ⎥
⎣0   1  ⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡1  a₁₂  a₁₃⎤
⎢           ⎥
⎢0   1   a₂₃⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    1 ⎦

⎡1  -a₁₂  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃⎤
⎢                      ⎥
⎢0   1        -a₂₃     ⎥
⎢                      ⎥
⎣0   0          1      ⎦

⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡1  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                ⎥
⎢0   1   a₂₃  a₂₄⎥
⎢                ⎥
⎢0   0    1   a₃₄⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    1 ⎦

⎡1  -a₁₂  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃  -a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄ + a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄ - a₁₄⎤
⎢                                                              ⎥
⎢0   1        -a₂₃                   a₂₃⋅a₃₄ - a₂₄             ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢0   0          1                         -a₃₄                 ⎥
⎢                                                              ⎥
⎣0   0          0                          1                   ⎦

⎡1  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  1  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  1  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  1⎦

⎡1  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢                     ⎥
⎢0   1   a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    1   a₃₄  a₃₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0    1   a₄₅⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    1 ⎦

⎡1  -a₁₂  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃  -a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄ + a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄ - a₁₄  a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a
⎢                                                                             
⎢0   1        -a₂₃                   a₂₃⋅a₃₄ - a₂₄                            
⎢                                                                             
⎢0   0          1                         -a₃₄                                
⎢                                                                             
⎢0   0          0                          1                                  
⎢                                                                             
⎣0   0          0                          0                                  

₄₅ + a₁₂⋅a₂₅ - a₁₂⋅(a₂₃⋅a₃₅ + a₂₄⋅a₄₅) - a₁₃⋅a₃₄⋅a₄₅ + a₁₃⋅a₃₅ + a₁₄⋅a₄₅ - a₁₅
                                                                              
             -a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₅ + a₂₃⋅a₃₅ + a₂₄⋅a₄₅ - a₂₅                           
                                                                              
                          a₃₄⋅a₄₅ - a₃₅                                       
                                                                              
                              -a₄₅                                            
                                                                              
                                1                                             

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

⎡1  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  1  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  1  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  1  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  1⎦


C:\Users\...>