2019年2月13日水曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題16の解答を求めてみる。


  1. 2乗について。


    ( i, j)成分について。

    A 2 = k = 1 n a i k a k j = k = i + 1 j - 1 a i k a k j

    3乗について。


    (i, j)成分について。

    l = 1 n k = i + 1 l - 1 a i k a k l a l j = l = i + 2 j - 1 k = i + 1 l - 1 a i k a k l a l j

    4乗の場合。

    m = 1 n l = i + 2 m - 1 k = i + 1 l - 1 a i k a k l a l m a m j = m = i + 3 j - 1 l = i + 2 m - 1 µ = i + 1 l - 1 a i k a k l a l m a m j

    n 乗の場合。

    t = i + n - 1 j - 1 · · · a t j

    ここで、

    n - 1 j - 1 i + n - 1 j - 1

    となるので、 すべての i、 j に対して

    a t j = 0

    となるから、 n 次(正方行列)の狭義上三角行列のn乗は零行列となる。


    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('16.')


def f(i, j):
    if i < j:
        return symbols(f'a{i}{j}', nonzero=True)
    return 0


for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    for t in [A, A ** n]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample16.py
16.
[0]

[0]

⎡0  a₁₂⎤
⎢      ⎥
⎣0   0 ⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  a₁₂  a₁₃⎤
⎢           ⎥
⎢0   0   a₂₃⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    0 ⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                ⎥
⎢0   0   a₂₃  a₂₄⎥
⎢                ⎥
⎢0   0    0   a₃₄⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    0 ⎦

⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

⎡0  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢                     ⎥
⎢0   0   a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0   a₃₄  a₃₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0    0   a₄₅⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    0 ⎦

⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦


C:\Users\...>

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