数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 回転体の体積(対数関数、置換積分法、部分積分法、累乗と指数関数の積、図形をx軸の周りに回転してできる立体の体積)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、回転体の体積の練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{}\underset{1}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{y}^2\mathrm{dx}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\underset{1}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\left(\log x\right)}^2\mathrm{dx}\\ t=\log x\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{x}\\ \log 2\\ \mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\underset{\log 1}{\int \; <!--\; integral\; -->}{t}^{2}x\mathrm{dt}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\underset{\log 1}{\overset{\log 2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{t}^2{e}^t\mathrm{dt}\\ \int \; <!--\; integral\; -->t^2{e}^t\mathrm{dt}\\ =t^2{e}^t-\int \; <!--\; integral\; -->2t{e}^t\mathrm{dt}\\ =t^2{e}^t-2\left(t{e}^t-\int \; <!--\; integral\; -->e^t\mathrm{dt}\right)\\ =t^2{e}^t-2t{e}^t+2e^t\\ =e^t\left(t^2-2t+2\right)\end{array}$

    よって求める回転体の体積は、

    $\begin{array}{}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\left(e^{\log 2}\left({\left(\log 2\right)}^2-2\log 2+2\right)-e^{\log 1}\left({\left(\log 1\right)}^2-2\log 1+2\right)\right)\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\left(2\left({\left(\log 2\right)}^2-2\log 2+2\right)-2\right)\\ =2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\left({\left(\log 2\right)}^2-2\log 2+1\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, plot, log


x = symbols('x')
f = log(x)
x1, x2 = 1, 2

I = Integral(pi * f ** 2, (x, x1, x2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

x0 = 0.1
x3 = 10
p = plot((f, (x, x0, x1)),
         (f, (x, x1, x2)),
         (f, (x, x2, x3)),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample10.py
2             
⌠             
⎮      2      
⎮ π⋅log (x) dx
⌡             
1             

    ⎛             2       ⎞
2⋅π⋅⎝-log(4) + log (2) + 1⎠


C:\Users\...>