数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 絶対値に関する不等式(和、平方根、累乗(べき乗、平方))

数学読本〈1〉
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、絶対値に関する不等式の問28の解答を求めてみる。

28. 
    
    $\begin{array}{}2\left(a^2+b^2\right)-{\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)}^2\\ =2\left(a^2+b^2\right)-\left(a^2+2\left|a\right|\left|b\right|+b^2\right)\\ =a^2+b^2-2\left|a\right|\left|b\right|\\ ={\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)}^2\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{}{\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)}^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\left(a^2+b^2\right)\\ \left|a\right|+\left|b\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\end{array}$

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('28.')

a, b = symbols('a, b', real=True)
f = sqrt(2 * (a ** 2 + b ** 2)) - (abs(a) + abs(b))

pprint(solve(f))

p = plot3d(f, show=False)

p.xlabel = a
p.ylabel = b
p.show()
p.save('sample28.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample28.py
28.
⎡⎧   ⎧-b   for b > 0⎫  ⎧   ⎧ b   for b ≥ 0⎫⎤
⎢⎨a: ⎨              ⎬, ⎨a: ⎨              ⎬⎥
⎣⎩   ⎩nan  otherwise⎭  ⎩   ⎩nan  otherwise⎭⎦

C:\Users\...>