数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 回転体の体積(楕円、図形をx軸の周りに回転してできる立体の体積)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、回転体の体積の練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   $\begin{array}{}y=0\\ a^2{x}^2=a^2{b}^2\\ x^2=b^2\\ y^2=\frac{a^2{b}^2-a^2{x}^2}{b^2}\\ =\frac{a^2}{b^2}\left(b^2-x^2\right)\end{array}$

   求める回転体の体積.

   $\begin{array}{}\underset{-b}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{y}^2\mathrm{dx}\\ =\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{a}^2}{b^2}\underset{0}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(b^2-x^2\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{a}^2}{b^2}{\left[b^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^b\\ =\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{a}^2}{b^2}\left(b^3-\frac{1}{3}{b}^3\right)\\ =\frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{a}^{2}b}{3}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, plot, sqrt, solve, Rational


x = symbols('x')
a = 2
b = 3
f = sqrt(Rational(a ** 2, b ** 2) * (b ** 2 - x ** 2))
x1, x2 = -b, b

I = Integral(pi * f ** 2, (x, x1, x2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

g = -f
x0 = -5
x3 = 5
p = plot((f, (x, x0, x1)),
         (f, (x, x1, x2)),
         (f, (x, x2, x3)),
         (g, (x, x0, x1)),
         (g, (x, x1, x2)),
         (g, (x, x2, x3)),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample8.py
3                   
⌠                   
⎮      ⎛   2    ⎞   
⎮  4⋅π⋅⎝- x  + 9⎠   
⎮  ────────────── dx
⎮        9          
⌡                   
-3                  

16⋅π


C:\Users\...>