数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 絶対値に関する不等式(場合分け、同符号、異符号、零)

数学読本〈1〉
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、絶対値に関する不等式の問26の解答を求めてみる。

26. 
    
    $ab\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0$

    が成り立つ条件について場合分け。

    a が零のとき。

    $\begin{array}{}\left|a\right|+\left|b\right|=\left|b\right|\\ \left|a+b\right|=\left|b\right|\end{array}$

    よって、 等式が成り立つ。

    $\left|a+b\right|=\left|a\right|+\left|b\right|$

    b が零の場合も 同様。

    
    a、 b が同符号の場合。

    共に正の場合。

    $\begin{array}{}{\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)}^2-{\left|a+b\right|}^2\\ {\left(a+b\right)}^2-{\left(a+b\right)}^2=0\\ {\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)}^2={\left|a+b\right|}^2\\ \left|a\right|+\left|b\right|=\left|a+b\right|\end{array}$

    共に負の場合。

    $\begin{array}{}{\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)}^2-{\left|a+b\right|}^2\\ ={\left(-a-b\right)}^2-{\left(\left(-1\right)\left(a+b\right)\right)}^2\\ ={\left(a+b\right)}^2-{\left(a+b\right)}^2\\ =0\\ \left|a\right|+\left|b\right|=\left|a+b\right|\end{array}$

    a、b が異符号の場合。

    
    a が負、 b が正の場合。

    $\begin{array}{}\left|ab\right|>-ab\\ {\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)}^2>{\left|a+b\right|}^2\\ \left|a\right|+\left|b\right|>\left|a+b\right|\end{array}$

    a が正、 b が負の場合も同様。

    よって、

    $\begin{array}{}ab\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|a+b\right|=\left|a\right|+\left|b\right|\\ ab<0\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|a+b\right|<\left|a\right|+\left|b\right|\end{array}$

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt
from sympy.plotting import plot3d
print('26.')

a, b = symbols('a, b', real=True)
f = (abs(a) + abs(b)) - abs(a + b)

p = plot3d(f, show=False)

p.xlabel = a
p.ylabel = b
p.show()
p.save('sample26.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample26.py
26.

C:\Users\...>