数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 和と直和(生成する部分空間と直和)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(和と直和)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $v=\left(x,y\right)$

   を V の任意の元とする。

   $\begin{array}{}a\left(2,1\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->W\\ b\left(0,1\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->U\\ \left(x,y\right)=a\left(2,1\right)+b\left(0,1\right)\end{array}$

   とする。

   $\begin{array}{}x=2a\\ a=\frac{x}{2}\\ y=a+b\\ b=y-\frac{x}{2}\end{array}$

   よって、 a. b は一通りに定まる。

   ゆえに、 V の おのおのの元 v に対して

   $v=u+w$

   となる U の元 u, W の元 w がただ一通りにしか存在しないので、 V は U と W の直和である。

   U'が （1，1）によって生成する部分空間の場合

   同様に、

   $\begin{array}{}\left(x,y\right)=a\left(2,1\right)+b\left(1,1\right)\\ x=2a+b\\ y=a+b\\ a=x-y\\ b=x-2\left(x-y\right)\\ =-x+y\end{array}$

   よって、 V は U'との直和である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix
print('1.')

x, y, a, b = symbols('x, y, a, b')

v = Matrix([x, y])
w = a * Matrix([2, 1])
u = b * Matrix([0, 1])
u1 = b * Matrix([1, 1])

for t in [w + u, w + u1]:
    pprint(solve(v - t, a, b))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎧   x       x    ⎫
⎨a: ─, b: - ─ + y⎬
⎩   2       2    ⎭

{a: x - y, b: -x + 2⋅y}

$