2019年1月12日土曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(和と直和)、練習問題1の解答を求めてみる。


  1. v = x , y

    を V の任意の元とする。

    a 2 , 1 W b 0 , 1 U x , y = a 2 , 1 + b 0 , 1

    とする。

    x = 2 a a = x 2 y = a + b b = y - x 2

    よって、 a. b は一通りに定まる。

    ゆえに、 V の おのおのの元 v に対して

    v = u + w

    となる U の元 u, W の元 w がただ一通りにしか存在しないので、 V は U と W の直和である。

    U'が (1,1)によって生成する部分空間の場合

    同様に、

    x , y = a 2 , 1 + b 1 , 1 x = 2 a + b y = a + b a = x - y b = x - 2 x - y = - x + y

    よって、 V は U'との直和である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix
print('1.')

x, y, a, b = symbols('x, y, a, b')

v = Matrix([x, y])
w = a * Matrix([2, 1])
u = b * Matrix([0, 1])
u1 = b * Matrix([1, 1])

for t in [w + u, w + u1]:
    pprint(solve(v - t, a, b))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎧   x       x    ⎫
⎨a: ─, b: - ─ + y⎬
⎩   2       2    ⎭

{a: x - y, b: -x + 2⋅y}

$

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