数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(対数関数、指数関数、置換積分法、部分分す分解、微分、平方根)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{}\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{1+{\left(\frac{d}{\mathrm{dx}}\log x\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\mathrm{dx}\\ t=\sqrt{x^2+1}\\ x=1,t=\sqrt{2}\\ x=e^2,t=\sqrt{e^4+1}\\ {\left[t\right]}_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e^4+1}}+\frac{1}{2}{\left[\log \frac{t-1}{t+1}\right]}_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e^4+1}}\\ =\sqrt{e^4+1}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\left(\log \frac{\sqrt{e^4+1}-1}{\sqrt{e^4+1}+1}-\log \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)\\ =\sqrt{e^4+1}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\left(\log \frac{{\left(\sqrt{e^4+1}-1\right)}^2}{e^4}-\log {\left(\sqrt{2}-1\right)}^2\right)\\ =\sqrt{e^4+1}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log \frac{{\left(\sqrt{e^4+1}-1\right)}^2}{e^4{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}\\ =\sqrt{e^4+1}-\sqrt{2}+\log \frac{\sqrt{e^4+1}-1}{e^2\left(\sqrt{2}-1\right)}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log, exp

x = symbols('x')

f = log(x)
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, 1, exp(2)))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

p = plot((f, (x, 0.1, 1)),
         (f, (x, 1, exp(2))),
         (f, (x, exp(2), 10)),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample3.png')

for t in [I.doit(),
          sqrt(exp(4) + 1) - sqrt(2) + log((sqrt(exp(4) + 1) - 1) /
                                           (exp(2) * (sqrt(2) - 1)))]:
    print(float(t))

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
 2                            
ℯ                             
⌠                             
⎮       ___________________   
⎮      ╱             2        
⎮     ╱  ⎛d         ⎞         
⎮    ╱   ⎜──(log(x))⎟  + 1  dx
⎮  ╲╱    ⎝dx        ⎠         
⌡                             
1                             

   ________                                          
  ╱      4  ⎛           ⎛ -2⎞              ⎞        4
╲╱  1 + ℯ  ⋅⎝-√2 - asinh⎝ℯ  ⎠ + log(1 + √2)⎠ + 1 + ℯ 
─────────────────────────────────────────────────────
                        ________                     
                       ╱      4                      
                     ╲╱  1 + ℯ                       

6.788651200394834
6.788651200394834
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