2019年1月15日火曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題4の解答を求めてみる。


  1. d dx x 4 x 2 + 1 = 4 x 2 + 1 + 4 x 2 4 x 2 + 1 d dx log 4 x 2 + 1 = 1 4 x 2 + 1 · 4 x 4 x 2 + 1 d dx log 2 x + 4 x 2 + 1 = 1 2 x + 4 x 2 + 1 2 + 4 x 4 x 2 + 1 = 1 2 x + 4 x 2 + 1 · 2 4 x 2 + 1 + 2 x 4 x 2 + 1 = 2 4 x 2 + 1 1 2 d dx x 4 x 2 + 1 + 1 2 log 2 x + 4 x 2 + 1 = 1 2 4 x 2 + 1 + 4 x 2 4 x 2 + 1 + 1 4 x 2 + 1 = 1 2 4 x 2 + 1 + 4 x 2 + 1 4 x 2 + 1 = 1 2 4 x 2 + 1 + 4 x 2 + 1 = 4 x 2 + 1

    よって、求める曲線の指示された区間における長さは、

    - 2 2 1 + d dx 4 - x 2 2 dx = 2 0 2 1 + 4 x 2 dx = 2 · 1 2 x 4 x 2 + 1 + 1 2 log 2 x + 4 x 2 + 1 0 2 = 2 17 + 1 2 log 4 + 17

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log

x = symbols('x')

f = 4 - x ** 2
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, -2, 2))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

p = plot((f, (x, -5, -2)),
         (f, (x, -2, 2)),
         (f, (x, 2, 5)),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample4.png')

for t in [I.doit(), 2 * sqrt(17) + log(4 + sqrt(17)) / 2]:
    print(float(t))

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
2                               
⌠                               
⎮       _____________________   
⎮      ╱               2        
⎮     ╱  ⎛d ⎛   2    ⎞⎞         
⎮    ╱   ⎜──⎝- x  + 4⎠⎟  + 1  dx
⎮  ╲╱    ⎝dx          ⎠         
⌡                               
-2                              

asinh(4)        
──────── + 2⋅√17
   2            

9.293567524865871
9.293567524865871
$

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