2019年1月23日水曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題12の解答を求めてみる。


  1. 0 2 π d dt 1 - cos t 2 + d dt t - sin t 2 dt = 0 2 π sin 2 t + 1 - cos t 2 dt = 0 2 π sin 2 t + 1 - 2 cos t + cos 2 t dt = 0 2 π 2 - 2 cos t dt = 2 0 2 π 1 - cos t dt = 2 0 2 t v 1 - cos t 2 + t 2 dt = 2 0 2 π 1 - cos 2 t 2 - sin 2 t 2 dt = 2 0 2 π 1 - 1 - sin 2 t 2 - sin 2 t 2 dt = 2 0 2 π 2 sin 2 t 2 dt = 2 0 2 π sin 2 t 2 dt = 2 0 2 π sin t 2 dt = 2 - 2 cos t 2 0 2 π = - 4 cos π - cos 0 = - 4 - 1 - 1 = 8

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, cos, sin
from sympy import pi
from sympy.plotting import plot_parametric
t = symbols('t')

x = 1 - cos(t)
y = t - sin(t)

I = Integral(sqrt(Derivative(x, t, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, t, 1) ** 2), (t, 0, 2 * pi))

for o in [I, I.doit(), I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

I = 2 * Integral(sqrt(sin(t / 2) ** 2), (t, 0, 2 * pi))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot_parametric((x, y, (t, -2 * pi, 0)),
                    (x, y, (t, 0, 2 * pi)),
                    (x, y, (t, 2 * pi, 4 * pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample12.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample12.py
2⋅π                                                 
 ⌠                                                  
 ⎮       ________________________________________   
 ⎮      ╱                 2                    2    
 ⎮     ╱  ⎛d             ⎞    ⎛d              ⎞     
 ⎮    ╱   ⎜──(t - sin(t))⎟  + ⎜──(-cos(t) + 1)⎟   dt
 ⎮  ╲╱    ⎝dt            ⎠    ⎝dt             ⎠     
 ⌡                                                  
 0                                                  

2⋅π                     
 ⌠                      
 ⎮    _______________   
 ⎮  ╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                      
 0                      

2⋅π                     
 ⌠                      
 ⎮    _______________   
 ⎮  ╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                      
 0                      

  2⋅π                 
   ⌠                  
   ⎮      _________   
   ⎮     ╱    2⎛t⎞    
2⋅ ⎮    ╱  sin ⎜─⎟  dt
   ⎮  ╲╱       ⎝2⎠    
   ⌡                  
   0                  

8

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