数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(パラメーター表示、三角関数(正弦と余弦)、係数、累乗(べき乗、平方)、平方根、加法定理、半角)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    
    $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(a\left(1-\cos t\right)\right)\right)}^2+{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(a\left(t-\sin t\right)\right)\right)}^2}\mathrm{dt}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\left(a·\; <!--\; middle\; dot\; -->\sin t\right)}^2+{\left(a\left(1-\cos t\right)\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =a{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\sin }^{2}t+1-2\cos t+{\cos }^{2}t}\mathrm{dt}\\ =a{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{2-2\cos t}\mathrm{dt}\\ =a\sqrt{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{1-\cos t}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}a{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{1-\cos \left(\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right)}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}a{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{1-\left({\cos }^2\frac{t}{2}-{\sin }^2\frac{t}{2}\right)}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}a{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{1-\left(1-{\sin }^2\frac{t}{2}-{\sin }^2\frac{t}{2}\right)}\mathrm{dt}\\ =2a{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\sin }^2\frac{t}{2}}\mathrm{dt}\\ =2a{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sin \frac{t}{2}\mathrm{dx}\\ =2a{\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =-4a\left(0-1\right)\\ =4a\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, cos, sin
from sympy import pi
from sympy.plotting import plot_parametric

a = symbols('a', positive=True)
t = symbols('t')

x = a * (1 - cos(t))
y = a * (t - sin(t))

I = Integral(sqrt(Derivative(x, t, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, t, 1) ** 2), (t, 0, pi))

for o in [I, I.doit(), I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

I = 2 * a * Integral(sqrt(sin(t / 2) ** 2), (t, 0, pi))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

xa = x.subs({a: 2})
ya = y.subs({a: 2})
p = plot_parametric((xa, ya, (t, -2 * pi, 0)),
                    (xa, ya, (t, 0, pi)),
                    (xa, ya, (t, pi, 2 * pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample13.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample13.py
π                                                       
⌠                                                       
⎮      ______________________________________________   
⎮     ╱                     2                      2    
⎮    ╱  ⎛∂                 ⎞    ⎛∂                ⎞     
⎮   ╱   ⎜──(a⋅(t - sin(t)))⎟  + ⎜──(-a⋅cos(t) + a)⎟   dt
⎮ ╲╱    ⎝∂t                ⎠    ⎝∂t               ⎠     
⌡                                                       
0                                                       

  π                     
  ⌠                     
  ⎮   _______________   
a⋅⎮ ╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
  ⌡                     
  0                     

  π                     
  ⌠                     
  ⎮   _______________   
a⋅⎮ ╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
  ⌡                     
  0                     

    π                 
    ⌠                 
    ⎮     _________   
    ⎮    ╱    2⎛t⎞    
2⋅a⋅⎮   ╱  sin ⎜─⎟  dt
    ⎮ ╲╱       ⎝2⎠    
    ⌡                 
    0                 

4⋅a

$