数学 - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の基本性質 – 不等式の基本性質(平方とその和、非負、等式が成り立つ必要条件、等式付き不等式、公理と他の諸性質の導出)

数学読本〈1〉
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.1(不等式の基本性質)、不等式の基本性質の問4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $a^2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0,b^2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0$

   より、

   $a^2+b^2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0$

   問題の後者について。

   
   背理法。

   $a^2+b^2=0$

   のとき、

   $a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   と仮定すると、

   $\begin{array}{}{a}^2>0\\ a^2+b^2>0\end{array}$

   よって、矛盾。

   ゆえに、

   $a=0$

   b の場合も同様。

   よって、

   $a^2+b^2=0\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->a=b=0$