数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - 変数変換定理(変数変換、円、極座標、円柱座標、半径、三角関数(制限、余弦)、累乗(べき乗)、定積分)

解析入門(下)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(b).を取り組んでみる。

3. 
   
   2. 
      

      直交座標を極座標に変換。

      $\begin{array}{}x=r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ y=r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\end{array}$

      ヤコビ行列式の値。

      $\begin{array}{}\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\\ \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\end{array}\right|\\ =\left|\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& -r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ \sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}\right|\\ =r\left({\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ =r\end{array}$

      よって、 変数変換により求める積分の値は、

      $\begin{array}{}\underset{x^2+y^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a^2}{\iint \; <!--\; double\; integral\; -->}\left(p{x}^2+q{y}^2\right)\mathrm{dx}\mathrm{dy}\\ =\underset{0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a}{\int \; <!--\; integral\; -->}\underset{0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}\left(p{r}^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+q{r}^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)rdrd\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{a}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{r}^{3}dr\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(p{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+q{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\left[\frac{1}{4}{r}^4\right]}_0^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\left(p\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+q\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ \underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\left[\frac{1}{2}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}{\left[\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ \underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\left[-\frac{1}{2}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}+\frac{1}{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}1df\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ \frac{1}{4}{a}^4\left(p\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+q\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\right)\\ =\frac{1}{4}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{a}^4\left(p+q\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos

print('3-(b).')

r, theta = symbols('r, θ')
a = symbols('a', nonnegative=True)
p, q = symbols('p, q', real=True)

I = Integral(r ** 3 * Integral(p * sin(theta) ** 2 + q *
                               cos(theta) ** 2, (theta, 0, 2 * pi)), (r, 0, a))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3-(b).
a                                     
⌠                                     
⎮    2⋅π                              
⎮     ⌠                               
⎮  3  ⎮  ⎛     2           2   ⎞      
⎮ r ⋅ ⎮  ⎝p⋅sin (θ) + q⋅cos (θ)⎠ dθ dr
⎮     ⌡                               
⎮     0                               
⌡                                     
0                                     

 4 ⎛π⋅p   π⋅q⎞
a ⋅⎜─── + ───⎟
   ⎝ 4     4 ⎠

$