2018年12月7日金曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(b).を取り組んでみる。



    1. 直交座標を極座標に変換。

      x = r cos θ y = r sin θ 0 r a 0 θ 2 π

      ヤコビ行列式の値。

      | x r x θ y r y θ | = | cos θ - r sin θ sin θ r cos θ | = r cos 2 θ + sin 2 θ = r

      よって、 変数変換により求める積分の値は、

      x 2 + y 2 a 2 p x 2 + q y 2 dx dy = 0 r a 0 θ 2 π p r 2 cos 2 θ + q r 2 sin 2 θ r d r d θ = 0 a r 3 d r 0 2 π p cos 2 θ + q sin 2 θ d θ = 1 4 r 4 0 α p 0 2 π cos 2 θ d θ + q 0 2 π sin 2 θ d θ 0 2 π cos 2 θ d θ = 1 2 cos θ sin θ 0 2 π + 1 2 0 2 π 1 d θ = 1 2 θ 0 2 π = π 0 2 π sin 2 θ d θ = - 1 2 sin θ cos θ 0 2 π + 1 2 0 2 π 1 d f = π 1 4 a 4 p π + q π = 1 4 π a 4 p + q

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos

print('3-(b).')

r, theta = symbols('r, θ')
a = symbols('a', nonnegative=True)
p, q = symbols('p, q', real=True)

I = Integral(r ** 3 * Integral(p * sin(theta) ** 2 + q *
                               cos(theta) ** 2, (theta, 0, 2 * pi)), (r, 0, a))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3-(b).
a                                     
⌠                                     
⎮    2⋅π                              
⎮     ⌠                               
⎮  3  ⎮  ⎛     2           2   ⎞      
⎮ r ⋅ ⎮  ⎝p⋅sin (θ) + q⋅cos (θ)⎠ dθ dr
⎮     ⌡                               
⎮     0                               
⌡                                     
0                                     

 4 ⎛π⋅p   π⋅q⎞
a ⋅⎜─── + ───⎟
   ⎝ 4     4 ⎠

$

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