数学 - 代数学 - 群 - 剰余類分解(部分群と共通部分、有限な指数の不等式、写像、単射)

代数系入門
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

代数系入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 3) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、4(剰余類分解)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   H の H と K の共通部分を法とする剰余類全部の集合を L、 G の K を法とする剰余類全計の絵合を M とする 。

   このとき L から M への写像を

   $\begin{array}{}a\in \; <!--\; element\; of\; -->H\subset \; <!--\; subset\; of\; -->G\\ f\left(a\left(H\cap \; <!--\; intersection\; -->K\right)\right)=aK\end{array}$

   と定めると、

   $\begin{array}{}a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->H\subset \; <!--\; subset\; of\; -->G\\ aK=bK\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->a\left(H\cap \; <!--\; intersection\; -->K\right)=b\left(H\cap \; <!--\; intersection\; -->K\right)\end{array}$

   すなわち単射なので、

   $\left(H:H\cap \; <!--\; intersection\; -->K\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(G:K\right)$

   が成り立つ。