数学 - 集合と位相 - 位相空間 - 位相空間(触点であるための必要十分条件、対偶)

集合・位相入門
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

集合・位相入門(松坂和夫 数学入門シリーズ 1) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、2(位相空間)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   x を含むある開集合 O が存在して、 この開集合とM の共通部分が空ならば

   $\begin{array}{}O\cap \; <!--\; intersection\; -->M=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ O\subset \; <!--\; subset\; of\; -->M^c\\ O^i\subset \; <!--\; subset\; of\; -->M^{ci}\\ O\subset \; <!--\; subset\; of\; -->M^e\\ x\in \; <!--\; element\; of\; -->M^e\end{array}$

   よって、 x は M の外点なので、

   $x\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->\stackrel{-}{M}$

   この対偶を考えれば、

   $x\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{M}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\forall \; <!--\; for\; all\; -->O\in \; <!--\; element\; of\; -->O\left(S\right)\left[O\cap \; <!--\; intersection\; -->M\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\right]$

   また、 x が M の触点ではないとき、

   $\begin{array}{}x\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->\stackrel{-}{M}\\ x\in \; <!--\; element\; of\; -->M^e=M^{ci}\\ x\in \; <!--\; element\; of\; -->M^{ci}\in \; <!--\; element\; of\; -->O\left(S\right)\\ M\cap \; <!--\; intersection\; -->M^{ci}=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\end{array}$

   よって、この対偶を考えれば、

   $\forall \; <!--\; for\; all\; -->O\in \; <!--\; element\; of\; -->O\left(S\right)\left[M\cap \; <!--\; intersection\; -->O\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\right]\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->x\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{M}$

   ゆえに必要十分条件である。

   $x\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{M}\iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\forall \; <!--\; for\; all\; -->O\in \; <!--\; element\; of\; -->O\left(S\right)\left[M\cap \; <!--\; intersection\; -->O\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\right]$