2018年10月27日土曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題6.を取り組んでみる。


  1. x を H の任意の元、 y を H'の任意の元とする。

    x = i = 1 n x i x i S S - 1 y = i = 1 m y j y j S ' S ' - 1

    また、任意の

    a S - 1 , b S '

    について、

    a - 1 S a b = b b - 1 a b a - 1 a = b b - 1 a a - 1 b a = b b 1 b a = b a

    よって可換。

    同様に、 任意の

    a S , b S ' - 1

    に対して可換。

    よって、

    x y = x 1 · · x n , y 1 · · y m = x 1 · · y 1 · x n · y 2 · · y m = y 1 x 1 · · x n · y 2 · · y m

    のように 続けていけば、

    x y = y x

    となるので、 H の任意の元と H'の任意の元は可換である。

    (証明終)

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