数学 - Python - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(対ごとに素な零ではない整数、逆数、和、分解)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題11.を取り組んでみる。

11. 
    
    $a_k{A}_k=a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{k-1}{a}_{k+1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n\left(k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

    とおく。

    問題の仮定より、

    $\left(A_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A_n\right)=1$

    よって、ある整数、

    $x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n$

    が存在して、

    $x_1{A}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{A}_n=1$

    が成り立つ。

    この整数は問題の等式を満たす。

    実際に、

    $\begin{array}{}\frac{x_1}{a_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{x_n}{a_n}\\ \frac{}{}\frac{x_1{A}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{A}_n}{a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n}\\ =\frac{1}{a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, prod, solve
import functools


xs = [symbols(f'x{i}') for i in range(10)]
ps = [2 * 37, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 * 31]

i = symbols('i', integer=True)
eq = Rational(1, prod(ps)) - sum([x / p for x, p in zip(xs, ps)])

for t in [eq, solve(eq, xs)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
  x₀   x₁   x₂   x₃   x₄   x₅   x₆   x₇   x₈    x₉         1      
- ── - ── - ── - ── - ── - ── - ── - ── - ── - ─── + ─────────────
  74   3    5    7    11   13   17   19   23   899   7420738134810

⎡⎧      74⋅x₁   74⋅x₂   74⋅x₃   74⋅x₄   74⋅x₅   74⋅x₆   74⋅x₇   74⋅x₈   74⋅x₉ 
⎢⎨x₀: - ───── - ───── - ───── - ───── - ───── - ───── - ───── - ───── - ───── 
⎣⎩        3       5       7       11      13      17      19      23     899  

       1      ⎫⎤
+ ────────────⎬⎥
  100280245065⎭⎦

$