数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(整数部分、Gaussの記号、無理数と正の整数、小数部分)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題20.を取り組んでみる。

20. 
    

    実数の区間

    $\left[0,1\right]$

    を N 等分する。

    また、

    $N+1$

    個の数

    $x=0,\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,N\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

    のそれぞれの小数郎分、

    $y_k=k\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\left[k\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right]$

    を 考える。

    これは、明らかに

    $0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->y_k\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1$

    であり、 N個の区間に N +1個の数があるので、

    $\begin{array}{}\frac{M}{N}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->y_{k_1}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{M+1}{N}\\ \frac{M}{N}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->y_{k_2}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{M+1}{N}\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M<N\\ k_1>k_2\end{array}$

    を満たすものが存在する。

    よって、

    $\begin{array}{}\left|y_{k_1}-y_{k_2}\right|<\frac{1}{N}\\ \left|\left(k_1\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\left[k_1\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right]\right)-\left(k_2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\left[k_2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right]\right)\right|<\frac{1}{N}\\ \left|\left(k_1-k_2\right)\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\left(\left[k_1\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right]-\left[k_2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right]\right)\right|<\frac{1}{N}\end{array}$

    ゆえに、

    $m=k_1-k_2,n=\left[k_2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right]-\left[k_2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right]$

    とすれば、問題の不等式を満たす。

    （証明終）