数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(n-次の正方行列、狭義の上三角行列、累乗(べき乗)、零行列、帰納法)

ラング線形代数学(上)
原著

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  • Pythonからはじめる数学入門
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題16.を取り組んでみる。

16. 
    
    $n=2$

    の場合。

    $A=(\begin{array}{cc}0& a_{12}\\ 0& 0\end{array})$
    $A^2=(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array})$
    $n=3$

    の場合。

    $A=(\begin{array}{ccc}0& a_{12}& a_{13}\\ 0& 0& a_{23}\\ 0& 0& 0\end{array})$
    $A^2=(\begin{array}{ccc}0& 0& a_{12}{a}_{23}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array})$
    $A^3=(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array})$
    $n=4$

    の場合。

    $A=(\begin{array}{cccc}0& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ 0& 0& a_{23}& a_{24}\\ 0& 0& 0& a_{34}\\ 0& 0& 0& 0\end{array})$
    $A^2=(\begin{array}{cccc}0& 0& a_{12}{a}_{23}& a_{12}{a}_{24}+a_{13}{a}_{34}\\ 0& 0& 0& a_{23}{a}_{34}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array})$
    $A^3=(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& a_{12}{a}_{23}^2{a}_{34}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array})$
    $A^4=(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array})$
    $A=(\begin{array}{cccc}0& a_{12}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& a_{1n}\\ 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& a_{2n}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& a_{\left(n-1\right)n}\\ 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\end{array})$
    $\begin{array}{}{A}^n\\ =A^{n-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->A\\ =(\begin{array}{cccc}0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0& b\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0& 0\end{array})\end{array}A=O$

    帰納法より、すべての正の整数のに対して成り立つ。

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational
import random

for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}') if i < j else 0 for j in range(n)]
                for i in range(n)])

    print(f'{n}-次の正方行列、狭義の上三角行列')
    for n0 in range(1, n + 1):
        pprint(A ** n0)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample16.py
1-次の正方行列、狭義の上三角行列
[0]


2-次の正方行列、狭義の上三角行列
⎡0  a₀₁⎤
⎢      ⎥
⎣0   0 ⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦


3-次の正方行列、狭義の上三角行列
⎡0  a₀₁  a₀₂⎤
⎢           ⎥
⎢0   0   a₁₂⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    0 ⎦

⎡0  0  a₀₁⋅a₁₂⎤
⎢             ⎥
⎢0  0     0   ⎥
⎢             ⎥
⎣0  0     0   ⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦


4-次の正方行列、狭義の上三角行列
⎡0  a₀₁  a₀₂  a₀₃⎤
⎢                ⎥
⎢0   0   a₁₂  a₁₃⎥
⎢                ⎥
⎢0   0    0   a₂₃⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    0 ⎦

⎡0  0  a₀₁⋅a₁₂  a₀₁⋅a₁₃ + a₀₂⋅a₂₃⎤
⎢                                ⎥
⎢0  0     0          a₁₂⋅a₂₃     ⎥
⎢                                ⎥
⎢0  0     0             0        ⎥
⎢                                ⎥
⎣0  0     0             0        ⎦

⎡0  0  0  a₀₁⋅a₁₂⋅a₂₃⎤
⎢                    ⎥
⎢0  0  0       0     ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0       0     ⎥
⎢                    ⎥
⎣0  0  0       0     ⎦

⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦


5-次の正方行列、狭義の上三角行列
⎡0  a₀₁  a₀₂  a₀₃  a₀₄⎤
⎢                     ⎥
⎢0   0   a₁₂  a₁₃  a₁₄⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0   a₂₃  a₂₄⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0    0   a₃₄⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    0 ⎦

⎡0  0  a₀₁⋅a₁₂  a₀₁⋅a₁₃ + a₀₂⋅a₂₃  a₀₁⋅a₁₄ + a₀₂⋅a₂₄ + a₀₃⋅a₃₄⎤
⎢                                                             ⎥
⎢0  0     0          a₁₂⋅a₂₃            a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄     ⎥
⎢                                                             ⎥
⎢0  0     0             0                    a₂₃⋅a₃₄          ⎥
⎢                                                             ⎥
⎢0  0     0             0                       0             ⎥
⎢                                                             ⎥
⎣0  0     0             0                       0             ⎦

⎡0  0  0  a₀₁⋅a₁₂⋅a₂₃  a₀₁⋅(a₁₂⋅a₂₄ + a₁₃⋅a₃₄) + a₀₂⋅a₂₃⋅a₃₄⎤
⎢                                                           ⎥
⎢0  0  0       0                    a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄             ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢0  0  0       0                         0                  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢0  0  0       0                         0                  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎣0  0  0       0                         0                  ⎦

⎡0  0  0  0  a₀₁⋅a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄⎤
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0         0       ⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0         0       ⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0         0       ⎥
⎢                           ⎥
⎣0  0  0  0         0       ⎦

⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦


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