数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(既約な準完全数、2進展開、真の約数の総和)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題16.を取り組んでみる。

16. 
    

    問題の仮定の

    $p<2^{n+1}$

    ということから、 p の2進展開を

    $p=2^{k_0}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{k_m}\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->k_0<\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; --><k_m\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\right)$

    とおくことができる。

    このとき、

    $\begin{array}{}\left(1+2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{n-1}\right)p=\left(2^n-1\right)p\\ p+2p+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{n-1}p=2^{n}p-p\\ p+p+2p+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{n-1}p=a\\ a=2^{k_0}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{k_m}+p+2p+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{n-1}p\end{array}$

    よって、 a はそのいくつかの真の約数の和に等しいので、a は準完全数である。

    a の真の約数は、

    $2^l\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->k\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\right)$

    あるいは

    $2^{l}p\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->l\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n-1\right)$

    となる。

    $2^l$

    のすべての正の約数の和は、

    $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(2^l\right)=\frac{2^{l+1}-1}{2-1}=2^{l+1}-1=2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^l-1<2^l$

    よって、準完全数ではない。

    $2^{l}p$

    のすべての正の約数の和は

    $\begin{array}{}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(2^{l}p\right)\\ =\frac{2^{l+1}-1}{2-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{p^{1+1}-1}{p-1}\\ =\left(2^{l+1}-1\right)\frac{p^2-1}{p-1}\\ =\left(2^{l+1}-1\right)\frac{\left(p+1\right)\left(p-1\right)}{p-1}\\ =\left(2^{l+1}-1\right)\left(p+1\right)\\ =2^{l+1}p+2^{l+1}-p-1\\ =2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{l}p\end{array}$

    ここで、

    $\begin{array}{}l+1\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\\ 2^n<p\end{array}$

    より、

    $\begin{array}{}{2}^{l+1}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2^n<p\\ 2^{l+1}p+2^{l+1}-p-1<2^{l+1}p-1<2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{l}p\end{array}$

    よって、

    $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(2^{l}p\right)<2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(2^{l}p\right)$

    よって、

    $2^{l}p$

    は準完全数ではない。

    ゆえに、 a は既約な準完全数である。

    （証明終）