数学 - Python - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 複素数上の独立性と実数上の独立性(連立1次方程式、実数解、複素数解が存在しないための十分条件)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、7(複素数上の独立性と実数上の独立性)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   複素数解をもつと仮定し、その解を

   $x_k=c_k+d_{k}i\left(c_k,d_k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->},k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   とおく。

   すると、

   $\begin{array}{}{a}_{11}\left(c_1+d_{1}i\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}\left(c_n+d_{n}i\right)=b_1\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ a_{m1}\left(c_1+d_{1}i\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}\left(c_n+d_{n}i\right)=b_m\end{array}$
   $\begin{array}{}\left(a_{11}{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{c}_n\right)+\left(a_{11}{d}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{d}_n\right)i=b_1\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ \left(a_{\mathrm{ml}}{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}{c}_n\right)+\left(a_{m1}{d}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}{d}_n\right)i=b_m\end{array}$

   問題の実数という仮定より、

   $\begin{array}{}\left(a_{11}{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{c}_n=b_1\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\left(a_{11}{d}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{d}_n=0\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ \left(a_{m1}{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}{c}_n=b_m\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\left(a_{n1}{d}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}{d}_n=0\right)\end{array}$

   よって、

   $c_k\left(c_k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->},k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   は連立1次方程式の実数解となる。

   ゆえに矛盾。

   以上より、もし問題.の方程式が実数解をもたなければ、複素数解ももたない。

   （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, I

x1, x2 = symbols('x1, x2')
expr1 = 2 * x1 + 3 * x2 - 4
expr2 = 2 * x1 + 3 * x2 - 5

y1, y2 = symbols('y1, y2', real=True)
z1, z2 = symbols('z1, z2', imag=True)

for a, b in [(y1, y2), (z1, z2)]:
    d = {x1: a, x2: b}
    for t in [a, b, d, solve((expr1.subs(d), expr2.subs(d)), (a, b))]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
y₁

y₂

{x₁: y₁, x₂: y₂}

[]


z₁

z₂

{x₁: z₁, x₂: z₂}

[]


$