数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 指数関数と対数関数 - 指数関数(微分方程式の解、定数)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第8章(指数関数と対数関数)、2(指数関数)、練習問題8.を取り組んでみる。

8. 1. y = f(x)とおいたとき、問題の方程式について。

      $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=Ky\\ y\ne 0\\ \frac{dy}{y}=Kdx\end{array}$

      y = 0のとき。

      両辺の積分を考える。

      $\begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{dy}{y}}={\displaystyle \int Kdx}\\ \log \left|y\right|=Kx+C_1\\ \left|y\right|=e^{Kx+C_1}\\ \left|y\right|=e^{Kx}{e}^{C_1}\\ y=\pm e^{C_1}{e}^{Kx}\\ y=C{e}^{kx}\left(C=\pm e^{C_1}\right)\end{array}$

      y = 0のとき。

      $\begin{array}{l}f\left(x\right)=0\\ f\text{'}\left(x\right)=0\\ f\text{'}\left(x\right)=K0=Kf\left(x\right)\\ \\ f\left(x\right)=0=0e^{Kx}\end{array}$

      よって、問題の定数Cが存在する。

   2. y = f(x)とおく。

      $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=-2xy\\ y\ne 0\\ \frac{dy}{y}=-2xdx\end{array}$

      両辺の積分を考える。

      $\begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int \left(-2x\right)dx}\\ \log \left|y\right|=-x^2+C_1\\ \left|y\right|=e^{-x^2+C_1}\\ \left|y\right|=e^{-x^2}{e}^{C_1}\\ y=\pm e^{C_1}{e}^{-x^2}\\ y=C{e}^{-x^2}\end{array}$

      y = 0のとき。

      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0=-2x·0=-2xf\left(x\right)\\ f\left(x\right)=0=0e^{-x^2}\end{array}$

      よって、問題の定数Cは存在する。

   3. y = f(x)とおく。

      $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=h\text{'}\left(x\right)y\\ y\ne 0\\ \frac{dy}{y}=h\text{'}\left(x\right)dx\end{array}$

      両辺の積分を考える。

      $\begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int h\text{'}\left(x\right)dx}\\ \log \left|y\right|=h\left(x\right)+C_1\\ \left|y\right|=e^{h\left(x\right)+C_1}\\ y=\pm e^{h\left(x\right)}{e}^{C_1}\\ y=C{e}^{h\left(x\right)}\end{array}$

      y = 0のとき。

      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0=h\text{'}\left(x\right)0=h\text{'}\left(x\right)f\left(x\right)\\ f\left(x\right)=0=0C{e}^{h\left(x\right)}\end{array}$

      よって、問題のことが成り立つ。(証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, Derivative, solve

print('8.')
print('(a)')
x, K, C = symbols('x K C')
f = C * exp(K * x)
D = Derivative(f, x, 1)
f1 = D.doit()
for t in [D, f1]:
    pprint(t)
    print()

for C1 in range(-5, 5):
    pprint((f1 - K * f).subs({C: exp(C1)}) == 0)
print()

print('(b)')
f = C * exp(-x ** 2)
D = Derivative(f, x, 1)
f1 = D.doit()
for t in [D, f1]:
    pprint(t)

for C1 in range(-5, 5):
    pprint((f1 - -2 * x * f).subs({C: exp(C1)}) == 0)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
(a)
∂ ⎛   K⋅x⎞
──⎝C⋅ℯ   ⎠
∂x        

     K⋅x
C⋅K⋅ℯ   

True
True
True
True
True
True
True
True
True
True

(b)
  ⎛     2⎞
∂ ⎜   -x ⎟
──⎝C⋅ℯ   ⎠
∂x        
          2
        -x 
-2⋅C⋅x⋅ℯ   
True
True
True
True
True
True
True
True
True
True
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample8.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown'],
    fs = colors.map((color, i) => [(x) => Math.exp(i / 2 * x), color]);

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        fns = fs,
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });

    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
        
    fns2
        .forEach((o) => {
           let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =