数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(座標(3次元))

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題3.を取り組んでみる。

3. 1. 
      $\begin{array}{l}a\left(1,1,1\right)+b\left(-1,1,0\right)+c\left(1,0,-1\right)=\left(1,0,0\right)\\ \\ a-b+c=1\\ a+b=0\\ a-c=0\\ \\ c=a\\ b=-a\\ a+a+a=1\\ a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{1}{3}\\ c=\frac{1}{3}\\ \\ \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}a\left(0,1,-1\right)+b\left(1,1,0\right)+c\left(1,0,2\right)=\left(1,1,1\right)\\ \\ b+c=1\\ a+b=1\\ -a+2c=1\\ \\ c=1-b\\ a=1-b\\ \\ -1+b+2-2b=1\\ b=0\\ c=1\\ a=1\\ \\ \left(1,0,1\right)\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}a\left(1,1,1\right)+b\left(-1,1,0\right)+c\left(1,0,-1\right)=\left(0,0,1\right)\\ \\ a-b+c=0\\ a+b=0\\ a-c=1\\ \\ b=-a\\ c=a-1\\ a+a+a-1=0\\ 3a=1\\ a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{1}{3}\\ c=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\\ \\ \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('3.')
a, b, c = symbols('a b c')
vs = [((1, 0, 0), (1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 0, -1)),
      ((1, 1, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 0), (1, 0, 2)),
      ((0, 0, 1), (1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 0, -1))]

for i, (x0, a0, b0, c0) in enumerate(vs):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    X = Matrix(x0)
    A = Matrix(a0)
    B = Matrix(b0)
    C = Matrix(c0)
    eq = (a * A + b * B + c * C) - X
    for t in [eq, solve(eq, dict=True)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
(a)
⎡a - b + c - 1⎤
⎢             ⎥
⎢    a + b    ⎥
⎢             ⎥
⎣    a - c    ⎦

[{a: 1/3, b: -1/3, c: 1/3}]


(b)
⎡ b + c - 1  ⎤
⎢            ⎥
⎢ a + b - 1  ⎥
⎢            ⎥
⎣-a + 2⋅c - 1⎦

[{a: 1, b: 0, c: 1}]


(c)
⎡a - b + c⎤
⎢         ⎥
⎢  a + b  ⎥
⎢         ⎥
⎣a - c - 1⎦

[{a: 1/3, b: -1/3, c: -2/3}]


$