2017年11月2日木曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、10(行列の階数)、問題1.を取り組んでみる。

    • 5から2について。

      BをBA=Inとなる行列とする。

      Ax = 0の両辺の左側からBを掛ける。

      BAx=B0 I n x=0 x=0

      よって、Ax = 0は自明な解しかもたない。

    • 2から3について。

      Ax = 0が自明な解しかもたないとする。

      bをR^nの任意の元とする。

      Ax = 0より線型変換LAは単射である。

      よって、LAは全射である。(定理3.20より)

      ゆえにAx = Bを満たすR^nの元xが存在する。

    • 3から4について。

      仮定より、LAは全射。

      よって、LAの階数はn。(定理3.20より)

      ゆえに、rank A = n。

    • 4かr5について。

      rank Aのとき、線型写像LAの階数はn。

      よって、LAは同型写像。(定理3.20より)

      ゆえに、LAは逆写像LBが存在する。

      L A L B = L AB = L I n L B L A = L BA = L I n

      よって、AB = BA = Inとなる。

    以上により、命題3.24のn次元の正方行列Aに関する5つの条件は互いに同等である。(証明終)

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