数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(実数区間、開集合、閉包、共通部分)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題6.を取り組んでみる。

6. 実数区間Rにおける2つの開集合A、B。

   $\begin{array}{l}A=\left(0,2\right)\cup \left(3,4\right)\\ B=\left(1,3\right)\end{array}$

   問題の各集合。

   $\begin{array}{l}A\cap \overline{B}\\ =\left(\left(0,2\right)\cup \left(3,4\right)\right)\cap \left[1,3\right]\\ =\left[1,2\right)\\ \\ \overline{A}\cap B\\ =\left(\left[0,2\right]\cup \left[3,4\right]\right)\cap \left(1,3\right)\\ =\left(1,2\right]\\ \\ \overline{A\cap B}\\ =\overline{\left(1,2\right)}\\ =\left[1,2\right]\\ \\ \overline{A}\cap \overline{B}\\ =\left(\left[0,2\right]\cup \left[3,4\right]\right)\cap \left[1,3\right]\\ =\left[1,2\right]\cup \left\{3\right\}\end{array}$

   よって、問題の4つの集合はすべて異なる。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Interval

print('6.')
A = Interval.open(0, 2) | Interval.open(3, 4)
B = Interval.open(1, 3)

X1 = A & B.closure
X2 = A.closure & B
X3 = (A & B).closure
X4 = A.closure & B.closure
XS = [X1, X2, X3, X4]
for t in [A, A.is_open, B, B.is_open] + XS:
    pprint(t)
    print()

for t in XS:
    for s in XS:
        if id(t) == id(s):
            continue
        print(t == s)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
6.
(0, 2) ∪ (3, 4)

True

(1, 3)

True

[1, 2)

(1, 2]

[1, 2]

[1, 2] ∪ {3}

False
False
False
False
False
False
False
False
False
False
False
False
$