数学 - Pytho - 代数学 - 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(組み合わせ、ある等式、階乗)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}\left(r^n-1\right)+(\begin{array}{c}n\\ r\end{array})\end{array}=\frac{n!}{\left(r-1\right)!\left(n-\left(r-1\right)\right)!}+\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}\\ =\frac{n!\left(r+\left(n-\left(r-1\right)\right)\right)}{r!\left(n-\left(r-1\right)\right)!}\\ =\frac{n!\left(n+1\right)}{r!\left(n-\left(r-1\right)\right)!}\\ =\frac{\left(n+1\right)!}{r!\left(\left(n+1\right)-r\right)!}\\ =(\begin{array}{c}n+1\\ r\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, factorial

r, n = symbols('r, n', integer=True)


def comb(n, r):
    return factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n - r))

f = comb(n, r - 1) + comb(n, r)
g = comb(n + 1, r)

for t in [f, g, f.expand() == g.expand()]:
    pprint(t)
    print()

for n0 in range(5):
    for r0 in range(n0):
        eq = f - g
        print(eq.subs({n: n0, r: r0}).expand() == 0)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
          n!                 n!    
───────────────────── + ───────────
(r - 1)!⋅(n - r + 1)!   r!⋅(n - r)!

    (n + 1)!   
───────────────
r!⋅(n - r + 1)!

False

True
True
True
True
True
True
True
True
True
True
$