数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 同値関係(商集合、標準的写像、有理数)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、6(同値関係)、問題4を取り組んでみる。

4. (m, n)、(m', n')、(m'', n'')をAの任意の元とする。

   1. mn = mnより(m, n)R(m, n)。

      よって関係Rは反射律を満たす。

   2. (m, n)R(m', n')のとき、mn' = m'n、m'n = mn'

      よって、(m', n')R(m, n)が成り立つ。

      ゆえに関係Rは反射律を満たす。

   3. (m, n)R(m', n') かつ (m', n')R(m'', n'')が成り立つとする。

      mn' = m'n かつ m'n'' = m''n'

      mn' / n = m'

      mn' / n × n'' = m''n'

      mn'n'' = m''n'n

      mn'' = m''n

      よって(m, n)R(m'', n'')。

      ゆえに、関係Rは推移律を満たす。

   以上より、問題の関係Rは同値関係である。