数学 - Pytho - 代数学 - 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(帰納法による様々な等式の証明)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題3.を取り組んでみる。

3. 1. 
      
      $\frac{1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1+1\right)}{2}=1$

      よって n が 1 のとき成り立つ。

      $\begin{array}{}1+2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+n\\ =\frac{\left(n-1\right)\left(\left(n-1\right)+1\right)}{2}+n\\ =\frac{\left(n-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->n+2n}{2}\\ =\frac{n\left(n-1+2\right)}{2}\\ =\frac{n\left(n+1\right)}{2}\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

   2. 
      
      $\frac{1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1+1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(2·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+1\right)}{6}=1$
      $\begin{array}{}{1}^2+z^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+n^2\\ =\frac{\left(n-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\mathrm{\eta \; <!--\; greek\; small\; letter\; eta\; -->}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(2\left(n-1\right)+1\right)}{6}+n^2\\ =\frac{n\left(\left(n-1\right)\left(2n-1\right)+6n\right)}{6}\\ =\frac{n\left(2n^2-3n+1+6n\right)}{6}\\ =\frac{n\left(2n^2+3n+1\right)}{6}\\ =\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

   3. 
      
      $\frac{1^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\left(1+1\right)}^2}{4}=1$
      $\begin{array}{}{1}^3+2^3+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+n^3\\ =\frac{{\left(n-1\right)}^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->n^2}{4}+n^3\\ =\frac{n^2\left({\left(n-1\right)}^2+4n\right)}{4}\\ =\frac{n^2\left(n^2+2n+1\right)}{4}\\ =\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

   4. 
      
      $\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1+1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1+2\right)=2$
      $\begin{array}{}|·\; <!--\; middle\; dot\; -->2+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+n\left(n+1\right)\\ =\frac{1}{3}\left(n-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->n·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\\ =\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->n·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(n+1\right)\left(n-1+3\right)\\ =\frac{1}{3}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

   5. 
      
      $\frac{1}{2-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$
      $\begin{array}{}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\\ =\frac{1}{\left(n-1\right)+1}+\frac{1}{\left(n-1\right)+2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{2\left(n-1\right)}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\\ =\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{2n-2}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\\ =\frac{1}{n+1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{2n-2}+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

   6. 
      
      $1+1=2^1$
      $\begin{array}{}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(2n\right)\\ =\left(\left(n-1\right)+1\right)\left(\left(n-1\right)+2\right)\left(\left(n-1\right)+3\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(2\left(n-1\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(2n-1\right)\left(2n\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{n}\\ =2^{n-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(2n-3\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(2n-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\\ =2^n·\; <!--\; middle\; dot\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(2n-3\right)\left(2n-1\right)\\ =2^n·\; <!--\; middle\; dot\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(2n-1\right)\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

   7. 
      
      $\frac{1-x}{{\left(1-x\right)}^2}-\frac{x}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{x}{1-x}=\frac{1-x}{1-x}=1$
      $\begin{array}{}1+2x+3x^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+n{x}^{n-1}\\ =\frac{1-x^{n-1}}{{\left(1-x\right)}^2}-\frac{\left(n-1\right)x^{n-1}}{1-x}+n{x}^{n-1}\\ =\frac{1-x^{n-1}-\left(n-1\right)x^{n-1}\left(1-x\right)+n{x}^{n-1}{\left(1-x\right)}^2}{{\left(1-x\right)}^2}\\ =\frac{1-x^{n-1}-\left(n-1\right)\left(x^{n-1}-x^n\right)+n{x}^{n-1}\left(1+x^2-2x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}\\ =\frac{1-x^n-x^{n-1}-n{x}^{n-1}+n{x}^n+x^{n-1}+n{x}^{n-1}+n{x}^{n+1}-2n{x}^n}{{\left(1-x\right)}^2}\\ =\frac{1-x^n-n{x}^n+n{x}^{n+1}}{{\left(1-x\right)}^2}\\ =\frac{1-x^n-n{x}^n\left(1-x\right)}{{\left(1-x\right)}^2}\\ =\frac{1-x^n}{{\left(1-x\right)}^2}-\frac{n{x}^n}{1-x}\end{array}$

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation

k, n = symbols('k, n', integer=True, positive=True)
exprs = [k,
         k ** 2,
         k ** 3,
         k * (k + 1)]

for i, expr in enumerate(exprs):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(summation(expr, (k, 1, n)).factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py 
(a)
n⋅(n + 1)
─────────
    2    

(b)
n⋅(n + 1)⋅(2⋅n + 1)
───────────────────
         6         

(c)
 2        2
n ⋅(n + 1) 
───────────
     4     

(d)
n⋅(n + 1)⋅(n + 2)
─────────────────
        3        

$