2017年11月15日水曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題3.を取り組んでみる。


    1. 1 · 1 + 1 2 = 1

      よって n が 1 のとき成り立つ。

      1 + 2 + + n = n - 1 n - 1 + 1 2 + n = n - 1 · n + 2 n 2 = n n - 1 + 2 2 = n n + 1 2

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)


    2. 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 6 = 1
      1 2 + z 2 + + n 2 = n - 1 · η · 2 n - 1 + 1 6 + n 2 = n n - 1 2 n - 1 + 6 n 6 = n 2 n 2 - 3 n + 1 + 6 n 6 = n 2 n 2 + 3 n + 1 6 = n n + 1 2 n + 1 6

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)


    3. 1 2 · 1 + 1 2 4 = 1
      1 3 + 2 3 + + n 3 = n - 1 2 · n 2 4 + n 3 = n 2 n - 1 2 + 4 n 4 = n 2 n 2 + 2 n + 1 4 = n 2 n + 1 2 4

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)


    4. 1 3 · 1 · 1 + 1 · 1 + 2 = 2
      | · 2 + 2 · 3 + + n n + 1 = 1 3 n - 1 · n · n + 1 + n n + 1 = 1 3 · n · n + 1 n - 1 + 3 = 1 3 n n + 1 n + 2

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)


    5. 1 2 - 1 - 1 2 = 1 2 = 1 1 + 1
      1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + + 1 2 n - 1 - 1 2 n = 1 n - 1 + 1 + 1 n - 1 + 2 + + 1 2 n - 1 + 1 2 n - 1 - 1 2 n = 1 n + 1 n + 1 + + 1 2 n - 2 + 1 2 n - 1 - 1 2 n = 1 n + 1 + + 1 2 n - 2 + 1 2 n - 1 + 1 2 n

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)


    6. 1 + 1 = 2 1
      n + 1 n + 2 n + 3 2 n = n - 1 + 1 n - 1 + 2 n - 1 + 3 2 n - 1 · 2 n - 1 2 n · 1 n = 2 n - 1 · 1 · 3 · 5 2 n - 3 · 2 n - 1 · 2 = 2 n · 1 · 3 · 5 2 n - 3 2 n - 1 = 2 n · 1 · 3 · 5 2 n - 1

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)


    7. 1 - x 1 - x 2 - x 1 - x = 1 1 - x - x 1 - x = 1 - x 1 - x = 1
      1 + 2 x + 3 x 2 + + n x n - 1 = 1 - x n - 1 1 - x 2 - n - 1 x n - 1 1 - x + n x n - 1 = 1 - x n - 1 - n - 1 x n - 1 1 - x + n x n - 1 1 - x 2 1 - x 2 = 1 - x n - 1 - n - 1 x n - 1 - x n + n x n - 1 1 + x 2 - 2 x 1 - x 2 = 1 - x n - x n - 1 - n x n - 1 + n x n + x n - 1 + n x n - 1 + n x n + 1 - 2 n x n 1 - x 2 = 1 - x n - n x n + n x n + 1 1 - x 2 = 1 - x n - n x n 1 - x 1 - x 2 = 1 - x n 1 - x 2 - n x n 1 - x

      よって帰納法により、すべての正の整数に対して問題の等式が成り立つ。(証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation

k, n = symbols('k, n', integer=True, positive=True)
exprs = [k,
         k ** 2,
         k ** 3,
         k * (k + 1)]

for i, expr in enumerate(exprs):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(summation(expr, (k, 1, n)).factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py 
(a)
n⋅(n + 1)
─────────
    2    

(b)
n⋅(n + 1)⋅(2⋅n + 1)
───────────────────
         6         

(c)
 2        2
n ⋅(n + 1) 
───────────
     4     

(d)
n⋅(n + 1)⋅(n + 2)
─────────────────
        3        

$

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