数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 和と直和(2次元(実数、R^2)、スカラー倍、基底、生成される部分空間、直和)

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、5(和と直和)、練習問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $A=\left(x,y\right),B=\left(z,v\right),A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,B\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   とする。

   $c_{1}A+c_{2}B=0$

   を考える。

   $c_2\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   とすると、

   $B=-\frac{c_1}{c_2}A$

   となり、問題の仮定と矛盾する。

   よって、

   $c_2=0$

   このとき、

   $c_{1}A=0$

   となり、

   $A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   なので、

   $c_1=0$

   よって、 A、B は1次独立である。
   ゆえに、

   $\left\{A,B\right\}$

   は

   $R^2$

   の基底である。

   また、 A、 B が基底であることから、

   $R^2$

   の任意元は

   $x_{1}A+x_{2}A$

   と生成元の和として表すことができる。
   そして、

   $cA\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->B$

   であることから、 A によって生成される部分空間とB によって生成される部分空間は共通部分をもたない。

   以上より、直和である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import random

print('3.')
c1, c2 = symbols('c1, c2')
v = Matrix([1, 2])
w = Matrix([2, 5])
eq = c1 * v + c2 * w
for t in [eq, solve(eq, (c1, c2))]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
⎡ c₁ + 2⋅c₂ ⎤
⎢           ⎥
⎣2⋅c₁ + 5⋅c₂⎦

{c₁: 0, c₂: 0}

$